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目 录

1.引言 1

1.1图像复原方法介绍 2

1.2几种经典的正则化参数选取方法 2

1.2.1 Lagrange乘子法 3

1.2.2 基于偏差原理的正则化参数 3

1.2.3 基于尺度空间分解的正则化参数 3

1.2.4 基于曲率和梯度的正则化参数 4

1.2.5 基于结构张量的正则化参数 4

1.2.6 基于L-曲线的正则化参数 4

1.3本文概述 4

2.主流的保真系数选择方法 6

2.1引言 6

2.2基于Lagrange乘子法的保真权系数 6

2.3基于偏差原理的保真权系数 7

2.4基于尺度空间分解的保真权系数 7

2.5基于曲率与梯度的保真权系数 8

2.6基于结构张量的保真权系数 9

2.7本章小结 10

3.非局部正则化模型自适应保真系数选取 12

3.1引言 12

3.2 非局部平均滤波方法 12

3.3 非局部总变差模型 13

3.4 自适应保真系数选取方法 14

3.4.1结构张量 15

3.4.2自适应保真系数选取 15

4.实验结果与分析 17

5.总结 20

参考文献 21

致谢 23

1.引言

社会日益进步，全球化日益加深，人与人间的沟通也日趋频繁。无论是信息交换的方式，还是信息交换的速度，发展的速度都极快，尤其是在计算机出现以后，利用电子来信息交换已是大势。用户可以很方便得通过图像采集设备，得到自己想要的图像，可以随身携带。同样，用户也可以选择使用各种移动介质，比如U盘、硬盘、软盘等，将想要的信息拷贝下来，然后转存到另一个地方，方便以后查看。相较而言，传统用纸张承载、传递信息的方式，已略显迟暮，不论是信息的查询、检索还是信息的传递上，效率都远不及现代化的电子形式。而在各式各样的电子形式中，相比其他形式，如声音，文字等，图像能让我们为直观得了解我们所想阐述的信息。

然而，图像在取得和传输的时候很容易被破坏，比如传感器元件、在去的图像时所处的环境和传输介质，无可避免的会遭遇到光学模糊、频谱混叠、噪声等因素，导致图像降质。首先，图像获取设备自身的成像水平参差不齐，传感器内部噪声、感光器件的颗粒噪声、传输通道的干扰和量化噪声都会导致图像获取过程中受到噪声污染。其次，图像场景的光照、湿度、温度以及空气浮尘颗粒等，都会造成图像退化。除此之外，在图像获取过程中，成像系统与初始环境之间的相对运动，设备的自身条件的不足，获得的图像容易变得模糊。受这些因素的影响，图像在获取和传输的时候，降质是在所难免。

因此，图像的复原技术是图像处理中举足轻重的一方面。在图像复原过程中，既能有效平滑图像的噪声，又能保留图像的边缘、角点和纹理等重要的结构信息，得到高质量的复原图像，一直是众多图像复原方法所追求的目标。然而，图像复原过程中，边缘、纹理等重要的细节信息往往会随噪声一起被平滑，为了保留细节信息，噪声成分又容易过多残留。已有的正则化图像复原方法往往顾此失彼，很难在这两方面均达到很好的效果。

在图像复原中，正则化参数的求解是我们必经的环节。正则化参数也称保真权系数。我们选择什么样的正则化参数，往往已经决定了我们最后将图像复原的程度。数值如果偏小，可能会放大噪声，导致在复原结果中使结构产生高频振荡。该数值如果偏大，则复原效果会过于平滑，边沿可能会看不见，纹理等细节方面的信息可能会丢失。因此，可以自适应的反映图像结构信息的正则化参数选取一直是业内研究的热点。在1.3节中，我将介绍几种经典的正则化参数。在第三章中我将提出自己的保真权系数求解过程。

1.1图像复原方法介绍

图像复原方法按照所使用的技术分类，大致可以分为以下5种：

（1）逆滤波与伪逆滤波方法^[8,9]

典型的逆滤波方法有逆滤波、维纳滤波与卡尔曼滤波方法。逆滤波方法的思想是在已知退化函数的情形下，利用退化函数的逆对图像反向恢复^[15]。维纳滤波的思想是将图像复原问题视为求解原始图像与估计值之间的均方误差最小化问题也称为最小均方误差滤波。卡尔曼滤波及其改进的方法均是递归的方法，通过协方差递归估算出最优的估计值，该方法不善于处理复杂纹理图像。伪逆滤波方法主要包括广义逆法、奇异值分解伪逆法及其改进的方法。伪逆滤波方法易受噪声干扰，复原结果往往不稳定。

（2）统计方法^[10]

统计方法基于贝叶斯理论框架，主要通过最大化条件概率复原图像，主要包括最大后验方法、最大似然估计方法和贝叶斯估计方法。其中贝叶斯估计方法基于整个分布估计参数，因此其鲁棒性更强^[16]。统计方法方法要求先验概率和条件概率模型与实际图像完全符合，此要求在实际中往往难以满足，因此此类方法在实际应用中复原效果不甚理想。

（3）最大熵方法^[11,12]

最大熵方法在恢复图像时，对恢复的结果添加一项最大熵约束，其优点是图像先验知识的假设要求不多，在去除噪声的同时还能较好得维持图像的细节。然而现实中，退化图像的熵往往大于原始图像的熵，因此最大熵约束理论上并不合理。

（4）正则化方法^[13]

正则化方法的思想是通过对图像复原这一反问题引入一定的约束条件，将其转变为满足解的存在性、唯一性和稳定性的适定问题，从而得到理想的复原效果。此类方法主要包括基于小波的图像正则化方法^[17,18]、基于偏微分方程的正则化方法^[19-22]、联合小波与偏微分方程的图像正则化方法、非局部正则化方法。

（5）基于学习的方法^[14]

此外，近年来的稀疏表示理论在数字信号领域的蓬勃发展催生了诸多基于稀疏表示与字典学习的图像复原方法。通过图像的稀疏表示，我们可以清楚得看到图像的根本的特性，该方法通过简便的方法来描述图像。用稀疏表示模型描述噪声时，由于噪声不是信号的稀疏成分，因此可将有效信号与噪声分离，使得稀疏表示理论在图像复原领域迅速发展。然而稀疏表示理论的研究尚未成熟。

1.2几种经典的正则化参数选取方法

正则化能够较好得处理不适定问题。正则化方法使用有关解的先验知识，它通过构造附加约束的方法，来让问题的解存在，并且该解是连续以及唯一的。从而把不适应问题转化，转化为适应问题便于解决。已有的正则化参数选取方法包括Lagrange 乘子法，基于偏差原理的方法、基于尺度空间分解的方法、基于图像梯度与曲率的方法、基于结构张量的方法以及近几年提出的基于曲线的方法等。在本节中我会简单介绍，在第二章我将详细介绍。

在此之前，很多正则化参数已经被提出了。首先是Rudin等^[1]提出的TV模型。 在Rudin提出的TV模型的基础上，Lagrange乘子法^[2]被提出了。以Tikhonov正则化参数为基础，Morozo提出了基于偏差原理^[3]的正则化参数。之后，在2006年，Gilboa等^[4]提出了卡通金字塔模型，这种模型结合了之前的两种方法，虽然较优，但仍存在缺陷(在2.2节中详述)。同样是在2006年，zhu^[5]利用曲率和梯度的这一性质构造了基于曲率和梯度的正则化参数^[5,6]，这些正则化参数都将在下文中阐述。Brox等^[7]提出了结构张量的概念，之后求解结构张量和非线性结构张量成为图像处理的重要环节。在2012年，卢兆林等^[6]提出通过引入差分曲率算子和尺度因子构造正则化参数。在这些已有的方法的基础上，我会进一步研究，求解出一种更全面更优的方法。

1.2.1 Lagrange乘子法

Lagrange 乘子法又称拉格朗日乘数法，其基本思想是通过约束泛函极值问题的Lagrange乘子法，得到正则化参数的解析表达式。基于Lagrange乘子法的正则化参数方法未能根据图像的几何结构自适应的选取参数，需要提前获知图像噪声水平，使得该方法不能有效保持细节信息，且在每次迭代的过程中都需要计算该参数，会损耗较多的时间。由于时间消耗和无法自适应的问题，我们不经常使用该方法。

1.2.2 基于偏差原理的正则化参数

在1996年，Morozo提出了偏差原理。该方法是确定Tikhonov正则化参数的一种后验方法。Morozov偏差原理把该问题看成约束偏差函数小于某一给定的正则项允许的偏差范围条件下下最小化解的模，由此来求解最小模解。该方法在应用时仍需确定合适的正则项偏差范围，若偏差过大，则对图像正则性约束不够，图像中的噪声会过多的残留，反之，偏差过小则会造成图像过度平滑。

1.2.3 基于尺度空间分解的正则化参数

2006年，Gilboa等提出了卡通金字塔模型，该模型利用总变差滤波方法将图像分解成卡通部分和非卡通部分。在该方法中，先利用Rudin的模型获得残差图，再利用拉格朗日乘子法得到自适应参数。此方法在构造正则化参数时需要选择残差图的尺度，理想的尺度难以选择。另外，该方法在纹理细节区域的正则化参数较大，对保真项的约束过强，导致纹理区域残留了过多的噪声内容。

1.2.4 基于曲率和梯度的正则化参数

因为在图像的各个区域内，曲率与梯度各不相同，受此启发，在2006年，zhu等根据曲率和梯度的性质构造了基于曲率与梯度的正则化参数，zhu得出结论，该正则化参数在角点处最大，边沿次之，内部最小。由于曲率和梯度算子本身对噪声敏感，因此基于曲率和梯度的正则化参数方法的图像复原效果很大程度上依赖于噪声水平。此外，控制参数选择较为困难，如若选择不当，将导致方法失败。

1.2.5 基于结构张量的正则化参数

在2006年，Brox等提出了结构张量这一概念。但是结构张量容易被噪声影响，所以对结构张量进行非线性扩散滤波进行平滑，即可得到非线性结构张量。通过非线性结构张量的特征值可以确定反映局部几何结构信息的两个度量，方向一致性度量和角点度量，这两个度量在图像各区域具有一定规律，正是因为这些规律，在2008年，zheng等提出了基于非线性结构张量的自适应正则化参数构造方法。该方法构造的正则化参数能够有效区分图像的边缘、角点和平坦区域，在保持边缘和角点，在边缘和角点信息的保持方面效果良好，计算速度快，但对于复杂纹理图像效果不甚理想

1.2.6 基于L-曲线的正则化参数

此类基本思想是以目标函数和相应的约束项函数为坐标得到一条参数曲线，然后计算该曲线在各点处的曲率，曲率极大值点处左右两侧分别由目标函数和约束项起主导作用，曲率极大值点作为这两种主导作用的分界点，该分界点对应的正则化参数能够很好地平衡正则项和约束项。如若L-曲线的曲率极大点有多个，则选择距离远点较近的曲率极大点作为理想的正则化参数。

该方法的优势在于不需要提前知道观测图像的先验信息，得到的复原结果相对较好。然而，该方法相当于计算L-曲线的拐点，如果L-曲线存在多个拐点，则需要计算多次，计算复杂度提高，有时还会出现极值不存在的问题，导致算法失败。

1.3本文概述

在本论文中，我会简单阐述流行的图像处理技术。在以上内容中，我已经简单阐述了几种图像复原技术以及几种为人熟知的正则化参数选取方法。在第二章中，我会简单介绍保真系数的研究进展，然后具体分析在第一章中所提及的五种正则化参数，并作出比较，寻求一种更好更全面的方法来获取自适应保真系数。在第三章中，因为要使用到，所以我简单论述了非局部平均滤波方法。非局部总变差则是重点，在最后一节中，我将提出自己的一点见解与创新。在第四章中，我将呈现实验的数据与结果。在第五章，我将做出总结，将我的方法与其他方法做出比较。

2.主流的保真系数选择方法

2.1引言

Rudin等在变分正则化的思想上论述了非线性总变差滤波，该方式实现图像滤波是通过最小化能量泛函。

在（2.1）式中，I表示经过滤波处理以后的图像，I₀表示滤波以前的图像，β为保真系数，Ω是图像定义域，方程如下：

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