论文总字数：18240字

目 录

1 绪论 5

1.1课题的背景和意义 5

1.2图像边缘及其边缘检测检测的介绍 5

1.3边缘检测的历史与发展现状 5

1.4边缘提取的步骤 6

1.5小波变换的综述 6

1.6本文结构安排 6

2传统的图像边缘检测方法 7

2.1 Roberts边缘检测算子 7

2.2 Sobel 算子 8

2.3 Prewitt 算子 8

2.4 Laplace 算子 9

2.5 log 算子 9

2.6 Canny 算子以及最优准则 10

2.7几种经典算子的仿真分析 11

3关于小波变换的基本介绍 12

3.1小波变换基础理论 13

3.1.1连续小波变换 13

3.1.2小波的离散化处理 13

3.1.3多分辨分析 14

3.2选取小波基的一般准则 14

3.3小波变换的实现步骤 14

4小波多尺度边缘检测 15

4.1 多尺度边缘检测的基本理论 15

4.2基数样条空间和B-样条 17

4.3实现B-样条小波的构造 18

4.4 实验结果与分析 19

4.4.1直方图均衡化增强图像 19

4.4.2关于小波多尺度边缘检测的程序设计 20

4.4.3 不同情况下的小波变换的仿真结果 21

5总结与展望 22

5.1结论 22

5.2未来展望 23

参考文献 24

致谢 25

基于小波变换的图像边缘检测

刘子如

，China

Abstract: Because the wavelet transform can analyse the image in time domain and frequency.it can have edge detection results in different scales, so the edge positions are more accurate, better detection results can be obtained. This article first introduces several traditional edge detection algorithms, and analyzes its advantages and disadvantages, and then choose the third order B spline wavelet as wavelet function, then the algorithm is based on the idea of solving the maximum gradient vector mode, so we can determine each edge pixels, and then analyzing the image edge detection image at multiple scales. Then add the image, analyzing the impact of noise on edge detection of different scales. We draw the conclusion that the algorithm can compare the different scales of edge information, so compared to other algorithms ,it have the advantages of comprehensive analysis .

Key words: edge detection; classic algorithm; multiscale wavelet transform; B-Spline wavelet;

1 绪论

1.1课题的背景和意义

图像的边缘包含许多主要的信息，因为边缘是图像的灰度值产生跳变的地方，这是图像的特点^[1]。边缘一般存在于背景和某些物体，物体与物体之间等等。所以一般图像检测都是基于边缘的，因为提取边缘在处理图像信息的同时也能提高工作效率。

上世纪六十年代开始，，便有了图像边缘检测技术，并且随着时代的发展，逐渐有了许多新的算法，比如Roberts这时提出了以梯度为基础的算子。后来到了又七十年代，很多的算法陆续提出，比较重要的有log，sobel，prewitt等算子^[2]。还有1983年出现的canny算子，之后每年都有一些新的边缘检测算法的发展。

现在有很多图像边缘检测算法已经被应用，然而在现实生活中，大部分图像都是有噪声的，这是图像在传输的过程中不可避免的，但是因为噪声是的随机的，我们没有办法完全了解到噪声的数据信息，因为无论是噪声还是边缘在灰度上都会呈现出变化，而且都是高频信号，因此我们没有办法去区分这些差异，而现今，我们也没有办法更多的好方法来解决这些问题。但是小波变换在时域和频域上都能够有很好的细节表现，并且能够局部化的进行分析，同时小波变换还有许多其他的优点，比如当图像处于大的尺度，图像的噪声能够进行很好的抑制，然而当图像处于小尺度，图像的边缘又能够很准确的被定位到，因此，小波变换是一个比较好的图像边缘检测算法^[3]。

1.2图像边缘及其边缘检测检测的介绍

如果一个图像的局部的灰度值的变化是不连续的，那么从数学角度出发，我们便知道这些部位应该就是所谓的边缘。关于边缘检测^[4]，一般有几种常见的技术如下，第一，二阶导数里的零交叉点可用来进行边缘检测；第二，对图像的梯度函数求模的极大值，第三，先假设后检验最后统计，第四，多尺度的边缘检测。我们对图像边缘有三种分类方式，分别为阶梯型边缘，线性边缘和屋脊型边缘。如图（1），（2），（3）所示，我们可以看出，他们的灰度变化是不一样的。

（1） （2） （3）

1.3边缘检测的历史与发展现状

我们通过观察边缘检测技术的发展，我们可以看到如今的几个方向。

其一，在原有算法的基础上，不停提出新的算法来补充，对这些算法进行分类，主要可分为二大类，一个是将理论与一些实体互相联系的，一个是该算法只针对一些特殊的情境。举例有以数学形态学为基础的边缘检测，关于小波变换的图像边缘检测技术，和统计学相关的边缘检测技术还有使用信息论，遗传算法的边缘检测技术^[5]等等。

其二，将理论和实际相结合，将边缘检测应用到生活里，比较对于人脸数据的读取和识别，对于商品条形码的鉴别和读取，还有一些医学影像的识别。

在图像处理的过程中，噪声对图像的影响比较大，因此我们对于图像必须先做一些处理，通常使用的方法是用各种滤波器进行处理，这里面有很多关键点，我们必须将这些噪声信号最大化的处理掉，并且同时将保留图像的边缘细节。对于高斯噪声，一般使用线性滤波。

1.4边缘提取的步骤

关于边缘信息的提取，换句话说就是，将图像灰度变化的最大的一部分给提取出来。首先我们将函数边缘图像进行微分，之后，为了提取图像中的高频分量，我们用高频滤波器。 另外，我们对于图像处理所使用的图像都是二维的，也就是图像是黑白的，只需要背景与轮廓之间有清楚的界限，有些像素之间灰度值也会有很大的变化，因此会与边缘混淆，一般会采用梯度的阈值和幅度值来区分，最后我们还需要找到边缘具体的位置，像素的分辨率的不同可以帮助我们得到结果。对这些步骤进行一下总结便是滤波，微分处理，黑白化图像，检测，定位。

1.5小波变换的综述

小波变换在时频局部上有很好的表现，而且分析和傅里叶变换是相对应的，我们可以利用傅里叶变换来进行对小波变换的分析。数学家Y.Meyer和S.Mallat共同提出了关于小波基的理论的统一，那就是多尺度分析^[6]。另外S.Mallat还根据塔式分解算法，构造出了我们现在熟知的Mallat算法。也就是关于小波的先分解后又重构。

随着边缘检测技术的不断发展，我们越来越发现小波变换的优势了，所以科学界对该算法的关注也是越来越多，它的研究方向我们可以归纳为几点：1.如何去构造小波基函数2.多尺度分析时如何选取不同的尺度^[7]。3.如何确定正确的阈值4.如何将经典算法与小波变换相结合。

上文提到小波变换的核心想法与傅里叶变换相契合，因此我们可以将小波变换应用在一些与傅里叶变换相关的方面，如今，小波变换对数字图像的处理方面提供了很大的方便，利用小波变换的优势，我们相信它将应用在更多不同的领域里。

1.6本文结构安排

第1章主要介绍了关于小波变换和边缘检测的理论知识。包括背景，现今研究的方向和发展。

第2章主要简单介绍了几个比较传统的图像边缘检测的算子。并且对它们进行仿真分析，观察它们的边缘检测结果的优点和缺点。然后还给原始图像加入噪声进行对比分析。

第3章主要的介绍了小波变换的理论基础，根据相关准则如何选取小波基，研究小波变换的具体方案。

第4章是在多尺度下，选取三阶B样条作为小波函数，然后对图像进行多尺度的边缘检测。分析各个尺度下的结果。然后依旧加入噪声作为对比，分析噪声对小波变换的影响。

第5章是对这次的论文进行了总结，并且对之后的发展提供了一些设想。

2传统的图像边缘检测方法

关于如何定义边缘检测，就是将物体与背景之间的分界线通过算法将它更加明显的显示出来^[8]。用数学的方式来讲，我们可以计算图像的梯度分布函数，然后分析梯度变化非常明显的地方。接着我们可以选取一个局部的像素，截取一小部分来构造相关的邻域来分析图像。接下来我们主要介绍一些传统而又经典的算子。

首先我们可以定义一下梯度的公式： （2-1）

接下里梯度的幅值为，方向为。 （2-2）

定义边缘检测算子为 （2-3）

2.1 Roberts边缘检测算子

该算子是用局部的差分来检测图像的，该差分在方向上是互相垂直的，将邻域定义为一个2*2的窗口模板，然后计算相邻对角线方向上的导数。

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