简化气垫船模型的最优控制

论文总字数：24470字

目 录

1 绪论 1

1.1 运动规划问题简述 1

1.2 力学控制简述 1

1.3 最优控制理论简述 1

1.4 课题研究意义和内容 1

1.5国内外研究现状 2

2 数学基础知识 2

2.1 张量的相关数学知识 2

2.2 范数 2

3.4 黎曼流形相关数学知识 4

3 拉格朗日力学基础知识 4

3.1 变分法的发展和拉格朗日力学方程的表征 4

3.2 拉格朗日力学系统的控制 6

4 极大值原理 6

4.1 Pontryagain极大值原理描述 6

4.2 拉格朗日力学系统极大值原理 7

5 简化气垫船模型最优控制 10

5.1简化气垫船模型的极值方程 10

5.2 时间最优控制 12

5.3力学最优控制中的非奇异力学最优控制 13

5.4奇异极值的刻画 15

6 总结 20

参考文献 21

致谢： 22

附录 23

简化气垫船模型的最优控制

贾斌

，China

Abstract：This paper studies the optimal control problems for the simplified hovercraft model. First of all, Euler-Lagrangian equation is used to establish the mathematical model of the corresponding control system. Then, Pontryagain maximum principle is used to deal with the optimal control problems with respect to two kinds of cost functions: time optimal and energy optimal. The solution considers both singular and non-singular cases. Finally we give simulations to illustrate our results.

.

Keywords: Optimal control；mechanical systems；The maximum principle

1绪论

1.1 运动规划问题简述

为了沿给定路线进行平稳运动，我们将控制的中间点序列插入到给定路径之间，这就是运动规划。关于运动控制，它主要是为了使控制目标系统能够准确跟踪指令的轨迹。如果我们能从从控制的角度来研究，由于移动机器人受不可控约束无法将它转化为等式约束，从而它成为局部不可控，但全局可控的非完整控制系统。由于控制具有特殊性，运动规划是非完整移动机器人控制的重要任务之一，越来越多的控制研究者对有障碍约束的运动规划进行进一步的研究。非完整系统运动规划的常见方法有三种：标准路径规划、最优控制规划和分段的定常输入规划。

1.2 力学控制系统简述

在日新月异的科技发展和和力学系统不断深入、不断完善应用的当今时代, 控制已经与力学系统的正常运转紧密相连不可分割,力学理论的不断发展又反过来促进了控制思维与控制方法的进一步进步。以上充分表明，控制系统中的Lyapunov稳定性理论不断发展，并且成功地将分析动力学中的变分原理应用于控制系统的最优控制。力学系统的控制和一般过程控制相比较而言, 动作要求更高，反应速度更快。比如，飞机驾驶仪的力学系统设计总是以飞机处在一个标准飞行状态为基础,并且控制也要求该驾驶仪在别的飞行状态(飞行高度、马赫数等)也是的，此时就涉及到如何对一个具有大摄动的力学控制对象实现有效的控制。

1.3 最优控制理论的背景

最优控制问题作为控制理论中的一个基本问题，广泛出现在航空航天，交通物流，经济，医药等实际领域中。上世纪五十年代，为解决如何操作飞机使其在最短时间内击中火力点的问题，庞德里亚特金等人给出了被认为是整个控制理论极其重大突破的极大值原理。它通过引入Hamiltonian结构，给出了最优解应满足的必要条件；同时，较之变分法，极大值原理允许控制集为闭集的情况。极大值原理一经引入，就在实际生活中的各个方面得到了广泛应用。随着七十年代以后微分几何方法在控制理论中的兴起，人们开始着手于从微分几何观点下重新理解极大值原理。从应用角度，由于实际系统的复杂性，传统的欧氏空间已不能满足控制研究的需要，流形上的控制系统（像刚体控制问题）的研究成为必然，在几何观点下的极大值原理也就应运而生。Sussmann在1997年给出了几何版本的极大值原理，此后，人们针对各类具体系统的结构特点，像李群上的控制系统，带对称性的系统等等，进一步讨论了极大值原理的简化形式，极大丰富和发展了最初的版本。

1.4课题的研究意义和内容

通过对气垫船系统的动力学建模与运动规划问题的研究,可以比较深入的学习运动规划，力学控制，最优控制理论等知识，在实践中运用运动规划，力学控制，最优控制理论等控制学知识增进对其的理解。在对数学建模以及仿真的过程中，可以锻炼自己的仿真建模能力和熟练应用建模软件matlab，从实际作品中感受控制学的博大精深，激励我们进一步地研究和学习。

1.5国内外研究现状

最优控制理论是控制学的一个核心内容。学科的开创性工作毫无疑问是由[Pontryagin, Boltyanskii,Gamkrelidze, 和Mishchenko 1961]的出版导致的，这项工作在第二次世界大战后的几年中取得了突破性成果——第一次陈述了极大值原理并且对其进行了详细的证明。最优控制理论的另一个基石是动态规划原理，最初的贡献是在《Bellman》（1957）中描述的。自这些基本著作出现以来，对这一课题作出了许多根本性的贡献，几乎不可能准确地给出研究文献的范围。然而，卡尔曼[ 1960 ]的线性理论的贡献是非常重要的，因为它们提供了可实现的设计工具，并在实践中广泛使用。在1990年代末Sussmann除了极大值原理，还研究了最优控制理论中的一个非常重要的问题——在最优控制中的高阶条件和极大值原理的特殊几何关系。这个问题的最终突破是在Krener [ 1977 ]中。二阶条件已由Agrachev及其合作者进行了深入的研究。仿射联络可以用来模拟各种各样的机械系统，仿射连接在这些系统的控制理论中起着重要的作用。这些系统的可控性研究是由Lewis和Murray[ 1997 ]开的始，而Bullo则产生控制算法并展开了进一步的研究， Leonard和Lewis[ 2000 ]对这些系统的最优控制研究是由刘易斯[ 2000 ]的论文发起。后一篇论文具有一般普遍性，在这里，我们应用这些早期文件的研究结果，详细分析一个特定的系统——简化的气垫船系统。

2数学基础知识

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