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目 录

1绪论 1

1.1 国内外研究现状及意义 1

1.1.1 倒立摆系统的研究背景 1

1.1.2 倒立摆系统的国内外研究现状 1

1.1.3 倒立摆系统的研究意义 2

1.2 倒立摆系统的控制方法 2

1.3本文的主要工作 3

2 倒立摆系统的数学建模及MATLAB仿真介绍 4

2.1 直线一级倒立摆系统的数学建模 4

2.1.1倒立摆系统的物理模型 4

2.1.2 小车的受力分析 4

2.1.3 摆杆的受力分析 5

2.1.4 线性化后的微分方程 6

2.1.5 直线一级倒立摆系统的状态表达式 6

2.2 MATLAB的发展及应用 7

2.2.1 Matlab及simulink的相关介绍 8

2.2.2 直线一级倒立摆的simulink模型 8

3 倒立摆系统的PID控制 10

3.1 PID控制的简介及发展现状 10

3.1.1 PID控制的简介 10

3.1.2 PID控制的发展现状 11

3.2 PID控制器的设计及simulink仿真 12

3.3 仿真结果及系统稳定性分析 16

4 倒立摆系统极点配置下的状态反馈控制器设计 17

4.1 系统的状态能控性与状态能观性分析 17

4.1.1 系统能控性的判据和能观性的判据 17

4.1.2 状态反馈与输出反馈 18

4.2 极点配置相关问题 20

4.2.1 极点配置算法 20

4.2.2 单输入系统的极点配置 20

4.3 状态反馈控制器的设计 21

4.3.1 极点配置的状态反馈控制器的设计 21

4.3.2 simulink仿真模型和仿真结果分析 21

5 基于线性二次型LQR算法的状态反馈控制器的设计 23

5.1 二次型最优控制问题 23

5.2 Q、R阵的选择 24

5.3 LQR控制器的设计及仿真结果分析 25

5.3.1 LQR控制器的设计 25

5.3.2仿真结果及分析 26

6总结 30

参考文献: 31

致谢 32

倒立摆系统分析与仿真研究

赵磊

，China

Abstract: The inverted pendulum system is a physical model which is often used in our classical control theory and modern control theory. The research on the control method often depends on the stability control of the inverted pendulum system. Therefore, the stability control of the inverted pendulum system has important theoretical and practical significance.

The control object of this design is the inverted pendulum system. This paper first introduces the physical model of the inverted pendulum, only considering the ground friction and using the isolation method to analyze the force situation, and we can establish its mathematical model. For this nonlinear system, we use linearization to make it a linear system. For this system, we adopt two control methods: PID control and state feedback control. Besides, in the state feedback control, we adopt two different methods to design the state feedback controller: pole assignment method and linear two order LQR algorithm. Finally, the Simulink simulation of Matlab is used to get the simulation results of inverted pendulum system under different controllers.

Key words: inverted pendulum system; Matlab simulation; PID; optimal control

1绪论

1.1 国内外研究现状及意义

1.1.1 倒立摆系统的研究背景

由于计算机的普及推广，信息技术的飞速发展和控制理论研究的逐渐深入，许多新的控制理论与控制算法如雨后初笋般不断出现，在现在的科学研究中，倒立摆系统已经成为了众多学校、机构、专家学者们所推崇地检验控制算法有效性的被控对象。随着对倒立摆系统不断地研究与科学技术的发展，倒立摆系统已经从开始的一级到后面的二级、三级甚至四级，并且倒立摆系统的样式也出现了许多种类，包括平面倒立摆、环形倒立摆等。对于倒立摆系统的控制方式也随之变得多种多样，包括线性理论控制，智能控制，模糊控制，神经算法控制等。此外，倒立摆系统作为良好的实验对象，价格低廉适用大众，物理结构和参数都易于调整，因此更是拥有众多应用舞台，在工业控制及航空事业中扮演着重要的角色。可以说该系统与我们的生产生活息息相关。

1.1.2 倒立摆系统的国内外研究现状

在世界范围内对于倒立摆系统的研究也引起了一阵热潮，研究的主要内容有两个方面：倒立摆系统的稳定性控制和倒立摆系统的自起摆的控制研究。两方面的研究均取得了许多重要的理论成果，相比之下前者的研究成果更为突出。美国的麻省理工学院是国外最早开始对倒立摆系统进行研究的大学，早在一九五几年就开始了对倒立摆系统的稳定性研究。之后美国的科学专家们利用火箭的发射器助推原理成功设计出第一个一阶的倒立摆系统实验设备。在1996年，Schncfer和Cannon两人采用了Bang-Bang控制理论，成功地令一个倒置的曲轴稳定，是倒立摆系统实验的一次重要突破。倒立摆系统真正被用于研究非线性、不稳定系统的研究对象开始于20世纪60年代后期。在1970年Lucnberger和Bryon俩人第一次提出了用状态观测器来控制倒立摆系统。此后国外对于倒立摆系统的研究也一直没有停止。

我国对倒立摆系统的研究开始于一九六零年[5]。在八十年代我国研究倒立摆系统的机构主要还集中在高等院校，中国的北京师范大学、北京航空航天大学以及中国科技大学成为我国主要研究倒立摆系统的前沿阵地。国内高校所采用的倒立摆系统的研究设备主要是在香港和加拿大生产的。

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