论文总字数：18224字

目 录

第一章 引言 3

1.1 小波概述 3

1.2 小波分析产生的背景 4

1.2.1小波变换的定义 5

1.3 主要研究内容及结构安排 7

第二章小波分析的基本理论 8

2.1 连续小波变换 8

2.2 离散小波变换 9

2.3 小波包分析 10

2.4小波变换方法 10

2.4.1 Harr 小波变换 10

2.4.2 双正交小波变换 12

第三章 小波变换在图像处理中的应用 14

3.1 基于小波变换的局部压缩 14

3.2利用二维小波分析进行图像压缩 19

3.3 基于小波包的图像压缩 20

第四章 小波的分解与重构 23

4.1 小波函数 23

4.2 小波图像分解与重构 24

4.3 小波的分解和重构算法 25

4.4二维离散小波的图像分解与重构 28

第五章 总结与展望 30

参考文献 31

致谢 31

基于matlab的小波变换在图像处理中的应用

王晓

，China

Abstract:Wavelet analysis is a new time domain, frequency domain analysis tool after Fourier analysis. In the field of image processing, its application range includes image compression, image transmission, image analysis, feature extraction and so on.

In this paper, we introduce the background of the wavelet under the following aspects, and then we can understand the basic theory of wavelet analysis, such as continuous and discrete wavelet transform and wavelet packet analysis, on the basis of Fourier transform. For the theoretical part of the knowledge, we use Matlab software to achieve simulation and found that our wavelet transform has a time-frequency characteristics and localized features, it can not only to the image to achieve the time to determine, but also in the frequency domain to achieve precise positioning The For different frequencies of the signal can take time domain or frequency analysis method to better handle the input signal. In view of the wavelet transform in the processing there are some limitations, we also introduced the analysis of the wavelet packet, the main use of Matlab toolkit to achieve the implementation of the resolution to enhance the processing. Finally, we use one-dimensional transformation and two-dimensional transformation to achieve the decomposition of the image reconstruction, intuitive understanding of the mystery of which knowledge and basic design ideas and methods of operation.

Key words: MATLAB; wavelet; image processing

第一章 引言

1.1 小波概述

小波分析最早出现于1980年代, 很多人都把它叫做调和分析，认为它是现代的傅里叶分析，是我们图像处理发展的另一个新时代。当下科技快速发展，许多科研高新技术都依靠着数学知识为基础知识,而小波的出现则在数学方面的解决更精细化,这样就说明了小波在我们当下科研、高新技术方面发展的重要地位。目前, 小波活跃在科研技术的方方面面，比如说有模式识别、图像处理等高新技术领域的实践，随着小波的发展逐渐也推广到了当下金融领域、化工生产、勘探等领域。我们都知道，傅立叶分析中的信号在频域中显示，并没有关于时间频率的任何信息。这个功能在某些方面非常有效。信号中包含的频率信息对信号本身很重要。但与此同时，这部分信号丢弃的时域信息在某些领域也可能非常重要，所以有很多科学家为傅立叶分析推广和推广，提出了大量的时域信息信号分析方法，在这个过程也会遗失掉些信号时域信息，在某些程度上说也许会比较关键，所以有了很多科学家对傅里叶分析开展了研究，发明了大量的时域和频域信息信号分析方法，如短时傅立叶变换方法，时频分析方法和小波变换，在这些变换方法中，短时傅立叶变换是基于傅里叶分析的，它被用作基本的介绍最早实验的时域信息，假设在一段时间内信号稳定，我们可以分开时间，然后时间信号被映射到频域，然后将信号映射到本地频域特征，但在区域上的时域信号，这只能依赖于索引常数时间的大小，但这是一个瞬态信号对于那些这样的粒度太大了。所以，我们使用时间的傅立叶分析时间，只有一个分辨率。但是，这种方法对于应用程序的许多方面来说还不够精确，有很多错误。小波分析解决了短时傅立叶变换分辨率方面问题，达到了多层次，多角度分辨率的效果。在时域中，频域上不仅体现了图像的局部信息和特征，也可以表现时间和、频率相关系数的数据。相应的实际信号动态调整。所以一般来说，在低频部分，这个时候信号往往比较稳定，那么我们可以选择较低的时间分辨率，而且还可以倾向于选择频率来提高分辨率，在高频部分的信号频率变化常常不是很大，所以我们可以选择稍低的频率分辨率，在时间上做到更好的计时定位。

1.2 小波分析产生的背景

傅立叶分析是一种信号处理和分析的工具。函数f(R)的积分傅丽叶变换如下:

(1-1)

傅立叶的功能就是采取数学的方法把时域转变成频域信号，采取频域处理方法对于原来的信号进行频谱分析，来实现对信号的消噪、压缩等处理和实现信号分解重构工作。傅立叶变换在很多方面有重要的性质，比如卷积、能量守恒等，它的一些特性在图像处理方面是很有效的。但傅立叶分析在实际应用过程中还是有缺点的，上世纪七十年代初，有一些科学家就察觉到傅立叶分析在分析信号频谱方面还有着一些不足，比如说傅立叶在整个时域上处理信号信息的时候，不能做到直观观测信号在局部频率的变化，特别是那些在局部骤变的信号。在傅立叶的式子没有时间变量可以看出，傅立叶变换完成也可以观测到函数的局部特性，我们开始引入了短时傅立叶变换，利用窗口来做到对于函数的细致观察研究。

我们先来设置窗口g(x)函数，同时f(x)在w(x)窗口函数下的短时傅丽叶变换可以得出:

(1-2)

其中w(t)符合以下标准：

(1) ；

(2) ；

(3) ；

在如上的公式概念，这样的函数要无穷处的值接近0，普遍使用的窗口函数有高斯函数。函数窗口傅丽叶变换的目标就是要在每一个时间点都可以开出一个窗口来实时知道函数在区间的走势情况。

函数可写为：

(1-3)

窗口函数的宽度为2Δg，其中

(1-4)

通过如上的概念设置可以发现，窗口傅丽叶变换虽然有一些优势但是也需要我们解决其中的一些问题，比如说函数窗口宽度大小不能调整，该问题就和原本设置窗口的理由不符合。在一些函数变换走势变化飞速的区间，我们这个时候就要用上小而窄的窗口，这样我们就可以细致的观察函数的具体变化；而在函数变化慢的情况下，我们就需要选择使用宽的窗口，这样我们可以观察到整个函数的具体走向。所以逐渐的，相关领域的科学家就开始发现需要研究出一种可以根据函数频率变化而变化的窗口函数，这在某些程度上就需要综合利用傅丽叶变换以及窗口函数的优缺点，因此有了小波变换的出现。

1.2.1小波变换的定义

小波，顾名思义，是它可以无限长的三角函数基转换成有限长度的小波。如图这就是为什么它叫“小波”，因为是很小的一个波。

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