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目 录
1引言4
2 相关概念4
3.矩阵对角化的方法5
3.1通过求解特征方程将矩阵对角化5
3.2通过初等变换将矩阵对角化7
3.3通过矩阵的乘法运算将矩阵合同对角化8
3.4实对称矩阵的相似变换9
4对角矩阵在计算中的应用11
4.1具备线性递推关系数列极限的求解方法11
4.2可化为具有线性递推关系的数列极限的求解方法13
4.3求矩阵的高次幂15
4.4通过正交线性替换化二次型为标准型17
5 小结18
6 参考文献19
7 致谢20
矩阵对角化的方法及应用
余星辰
，China
Abstract． The simplest form of matrices are diagonal matrices. Converting a matrix to a diagonal matrix will help us to solve many relevant problems．There are many ways to converting a matrix to a diagonal matrix. In this paper we will introduce four methods: the method of characteristic equation, the method of elementary transformation, the methods of equiformal transformation and contractual transformation of real symmetric matrices. Diagonalization of matrices has a very wide range of applications．We will discuss solving the problem of series pass term with linear recurrence relation，higher order of matrices and converting a quadratic form to a standard form one in this paper.
Key words．diagonal matrix；diagonalization；linear recurrence relations；transformational models．
1．引言
对于矩阵对角化我们都很熟悉，前人早在十九世纪末在研究行列式的性质和计算时受到了启发，并提出了对角矩阵的概念．近现代，在计算机飞速发展的背景下，人们看到了矩阵对角化广阔的应用前景．由于对角矩阵的性质使得它在各领域有广泛应用．尤其是它在计算数学中的应用．
由于对角矩阵是十分特殊，最为明显的性质体现在它的形式最为简单，所以我们在数学计算中经常想要把普通矩阵化为对角矩阵来简化解题过程的同时增加解题的正确率．但不是每个矩阵都能对角化．在数域中，对于矩阵，若存在一个可逆矩阵使得为对角矩阵，那么我们称矩阵可相似对角化；若存在一个可逆矩阵使得为对角矩阵,那么我们称矩阵可合同对角化．
矩阵对角化的方法有很多，在我们学习的课本中就提到过很多对角化方法．通过求解特征方程从而解得矩阵的特征值是最基本的一种方法，若一个矩阵所有特征值的代数重数等于它的几何重数那么该矩阵可以化成对角矩阵，可逆矩阵是由它所有的线性无关的特征向量构成的．如果所求矩阵有一个特征值的代数重数不等于几何重数那么该矩阵就不能化成对角矩阵．我们还可以利用实对称矩阵的性质，由于可逆矩阵可以通过两个或两个以上的简单矩阵相乘所得，所有利用可逆矩阵的这一性质，我们可以将实对称矩阵分步对角化，通过多个构造出来的简单矩阵相乘将它化成对角矩阵．在化实对称矩阵为对角矩阵的过程中，所构造的简单矩阵相乘就可以得到可将实对称矩阵化成对角矩阵的可逆矩阵．我们还可以通过在目标矩阵的右方或者添加一个单位矩阵，对目标矩阵做行变换的同时也做列变换，添加的单位矩阵只做初等行变换或者列变换，由单位阵的特殊性质，当目标矩阵化成单位阵时可得到我们想要的结果．
对角矩阵的形式十分简单所以在数学计算中非常的受欢迎．对角矩阵在表示线性关系上有得天独厚的优势，线性关系可以用一个列向量等于一个矩阵乘以一个列向量的方式表示出来，这使得线性关系前所未有的直观，线性关系的递进可以用矩阵相乘的方式表现，所以对角矩阵在求具有线性关系或可化为线性关系的数列求通项问题上有很多的应用．对于矩阵的高次幂由于多个一般矩阵的相乘所得到的结果非常的难以计算，但是如果将一般矩阵化成对角矩阵就可以很简单的得到答案，当然前提是所求矩阵可以对角化．
2．相关概念
为了让读者更好的理解本文，本文摘录了以下相关概念：
定义1[1] 若在数域上，阶矩阵存在一个阶的可逆矩阵使，其中为对角矩阵，那么我们就称该矩阵在数域上可对角化．
命题1[1] 对于阶矩阵，它有个线性无关的特征向量是该矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件．
推论1[1]若阶矩阵有个不同的特征值，那么我们认为矩阵与对角矩阵相似．
命题2[1]设为阶矩阵的全部特征值，那么与对角阵相似的充要条件是．这里为特征子空间的几何重数．若在矩阵运算中得到有重根的特征值，那么这个特征值所对应的特征向量所构成空间的维数称作几何重数．
推论2[1]阶矩阵可对角化的充分必要条件是的每一个特征值的代数重数与它的几何重数相等，其中代数重数是指方程根的重数．
定义2[2]对于数域上的阶矩阵，如果存在一个属于数域和一个非零的列向量，使得
那么我们将称为矩阵的一个特征值，此时称列向量为属于的一个特征向量．
定义3[2] 若对于阶矩阵和，存在可逆的阶矩阵使得，那么我们称矩阵与矩阵相似；如果矩阵是对角阵，那么我们称可相似对角化．
定义４[2] 若对于数域上的阶矩阵和，存在一个可逆矩阵使得，那么我们称与合同；若矩阵为对角阵，则称可合同对角化．其中为矩阵的转置矩阵．
引理1[3]阶矩阵可化为对角矩阵的充要条件是的每个重特征根，有
其中表示矩阵的秩为．
3．矩阵对角化的方法
3.1通过求解特征方程将矩阵对角化
定理1[1] 对于阶矩阵，我们对它的特征方程进行求解，我们可以得到它的全部特征值，
（１）若无重特征值则可以相似对角化，求出每一个特征值的对应特征向量，取矩阵，则有；
（２）若有重特征值且它的代数重数等于几何重数则可对角化，重复（1）中的步骤即可求出对角矩阵；
（３）若有重特征值但它的代数重数不等于几何重数则不能对角化．
例1 已知矩阵，利用特征值及特征向量求出可逆矩阵，使得为对角阵且与矩阵相似．
解：将矩阵带入特征方程中，我们可以得到
所以矩阵的特征值分别为．
将代入齐次线性方程组
得
解方程得到它的两个线性无关的特征向量分别为
，．
再将带入齐次线性方程组，得
解方程可得的一个特征向量为
．
取，将代入矩阵，得
．
则
．
3.2 通过初等变换将矩阵对角化
定理2[1]构造一个行列的矩阵，将它进行初等列变换的同时作相同的行变换将其化成的形式，其中表示的特征矩阵的转置，为一对角阵．可以对角化的充要条件是中零行的数目等于的重数．那么
（1）对角线上各元素乘积所得的关于多项式的根就是的特征值；
（2）将的特征值带入中，中元素全为0的行（这里我们称它为零行）所对应的行向量就是矩阵特征向量；
注：对矩阵作初等行变换使得转化为的过程中，因为列变换不影响的的解，从而达到了特征值和特征向量同时求解的效果，因此可逆矩阵和对角矩阵的求解可以分别从最后的矩阵中直接得到．
例２ 已知矩阵，求可逆矩阵，使得为对角阵．（要求利用矩阵的初等变换）
解：将矩阵带入矩阵，得到
解方程，得到，所以的特征值是8和-1（二重）．
将特征值带入中
得属于2的特征向量为
．
将特征值代入中
得是属于-1的两个特征向量为
，．
所以我们可以得到可逆矩阵
经由简单的计算可得矩阵的逆矩阵
使得
．
3.3 通过矩阵的乘法运算将矩阵合同对角化
定理3[３]在数域上，所有的对称矩阵都能合同对角化．
即对于任意一个对称矩阵都可以找到一个可逆矩阵使得为对角矩阵．可逆矩阵又可以用多个可逆矩阵相乘所得，所以我们可以将对称矩阵分步对角化．然后我们通过矩阵的乘法运算将矩阵合同对角化．
例3 已知矩阵，利用矩阵的乘法运算求出可逆矩阵，使得为对角阵且与矩阵合同．
解：首先，我们取，
；
然后，我们取，
；
最后，我们取，
；
此时已为对角阵，所以令
，
我们就可以得到
．
3.4 实对称矩阵的相似变换
定理４[5] 设实对称矩阵，可逆矩阵和对角阵，等式成立．若的下方和右方同时并上一个等阶的单位阵，下方的单位阵随作同步列变换，右方的单位阵随作同步行变换；矩阵每做一次行变换就相应的做一次相同的列变换，通过初等变换将变换成对角阵时，上下两个单位阵变换成可逆矩阵和，得到对角矩阵，实对称矩阵的特征根为它对角线上的元素．
由文献［5］我们可以知道矩阵对角化的相似变换模型或者，每对一矩阵进行一次列变换的同时对该矩阵施行一次相同的行变换的变换方式称为可逆变换．
例4 对于例2中的矩阵，试用实对称矩阵的相似变换求出可逆矩阵，使得为对角阵且与矩阵相似．
解：根据上述的矩阵对角化的相似变换模型我们可以得到
于是根据以上的矩阵我们可以从中读出
，．
此时我们可以通过简单的三个矩阵相乘就可以得到以下结果
．
4．矩阵对角化在计算中的应用
一些数列，是通过递推关系式给出的，这些数列中的具有线性递推关系的或者可化为具有线性递推关系的可以利用对角矩阵的性质很直观的解出数列通项从而达到解题的目的．
4.1具备线性递推关系数列极限的求解方法．
例5 设为实数域中的三个正实数，已知与有以下关系，，．试证明：
法一：(一般解法)
首先我们令
；
那么根据上述关系我们可以推出
；
所以由上述推论，我们可以得到下面这个结论
；
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