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摘 要
本文根据两类切比雪夫多项式的通项公式，研究了两类切比雪夫多项式的指数型母函数，得到了几个关于两类切比雪夫多项式的积和恒等式.利用两类切比雪夫多项式与Fibonacci数和Lucas数的关系，获得了一些关于Fibonacci数和Lucas数的积和恒等式.关键词：切比雪夫多项式，Fibonacci数，Lucas数，母函数
Abstract:In this paper,according to the general formula of Chebyshev polynomials of the two kinds and generating function, two kinds of Chebyshev polynomials and product identities were studied. The identities of several of the Chebyshev polynomials of the two kinds of it were achieved.Some several identities of Fibonacci and Lucas numbers were also achieved by using the relationship of Chebyshev polynomials, Fibonacci numbers and Lucas numbers .
Keywords:Chebyshev polynomial,Fibonacci number,Lucas number,generating function
目录
1 引言 4
2 主要结论 6
3 相关推论 14
结论 18
参 考 文 献 21
1引言
第一类切比雪夫多项式和第二类切比雪夫多项式是指分别满足如下递推关系[1]的多项式
，
，
其中
，，
， .
令，，则[2]
，
.
同样地，Fibonacci数列和Lucas数列满足如下递推关系[3]
，，，
，，，
两类切比雪夫多项式、和Fibonacci数、Lucas数有如下关系[2-4]
，， ，
，， .
两类切比雪夫多项式一直是专家、学者研究的课题[3-5]，比如朱伟义在文[3]中研究了关于积和以及积和的恒等式，得到了两个重要的定理
(1)
(2)
并根据两类切比雪夫多项式和Fibonacci数、Lucas数的关系，得到了关于Fibonacci数和Lucas数的一系列恒等式
， (3)
， (4)
， (5)
， (6)
， (7)
(8)
(9) (10)
(11)
(12)
本文利用母函数的方法研究了,，积和及，，积和的恒等式，推广朱伟义在文[3]中的相关结论，并得到了关于Fibonacci数、Lucas数的一些恒等式.
2 主要结论
定理1 对任意正整数、,有
. (13)
证明 由
，
则得到关于的指数型母函数
=
=
= ，
将上式两边次方，得
左边=,
右边=
=
=
= .
比较左右两边项的系数，有
，
从而定理1得证 .
定理2 对任意正整数、,有
(14)
证明 由
，
则得到关于的指数型母函数
=
=
= ，
将上式两边次方，则
左边=,
右边=
=
=
=
=，
比较左右两边项的系数，有
从而定理2得证 .
定理3 对任意正整数、,有
. (15)
证明 由
，
得
，
从而有
=
=
= ，
将上式两边次方，则
左边= ，
右边=
=
=
= .
比较左右两边项的系数，有
，
从而定理3得证 .
定理4 对任意正整数、,有 (16)
证明 由
，
得
，
从而有
=
=
= ,
将上式两边次方，则
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