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摘 要

函数有很多性质，凹凸性是函数的一个重要性质.函数凹凸性也在高等数学中扮演着举足轻重的角色.因此本文将研究函数的凹凸性，给出函数凹凸性的定义及判别方法.不等式在数学中也占有重要的地位并值得探讨，而不等式的证明方法灵活多样，近几年的高考试题中，利用函数凹凸性证明不等式也常有出现.本文还将进一步探讨函数的凹凸性在证明和构造不等式中的具体应用.

关键词：凹凸性,不等式,证明

Abstract： The function has many properties, the concave and convex is one of the important properties of the function. The convexity and convexity of function plays an important role in advanced mathematics. Therefore, this paper will study the function of the concave and convex, give the definition and method of function. Inequality in mathematics also occupies an important position and is worth exploring, and inequality is proved to be flexible and diverse, in recent years, the college entrance examination questions, the use of functional bump proof inequality also often appear. In this paper, we will further discuss the application of the function of convexity and convexity in the proof and structural inequality.

Keywords: Convexity and convexity of function,inequality,prove

目 录

1 前 言 3

2 函数的凹凸性 3

2.1 函数凹凸性的定义 3

2.2 函数凹凸性的判别方法 7

3 函数凹凸性在证明不等式中的应用 7

3.1 Jensen不等式 8

3.1.1 Jensen不等式的定义 8

3.1.2 Jensen不等式性质 8

3.1.3 Jensen不等式的应用 8

3.2 利用凹凸函数定义证明不等式 10

3.3 利用凹凸函数性质证明不等式 11

结 论 15

参 考 文 献 16

致 谢 17

1 前 言

函数有很多性质，其中有单调性，奇偶性，周期性.仅仅研究这几个性质是不够的，仅仅凭借这些还不能准确的描绘出函数的图像.在近几年的高等试题中，函数的凹凸性问题常常出现.这类题目不仅能够考察学生的创新能力，而且能够培养学生的数学素养.利用好函数的凹凸性不仅可以帮助学生掌握函数的图像并且可以帮助学生化解一些难题.文章主要研究和探讨函数的凹凸性定义及其判别方法，函数凹凸性在证明不等式中的应用，而且文章主要侧重研究凸函数.函数的凹凸性问题又是一个令人头大的问题，关于函数凹凸性的定义在中国数学界与国外的很多定义却是相反的，然而在经济学所涉及的书中，国内和国外关于函数凹凸性的提法又是一致的.数学里的指数函数、对数函数、三角函数、幂函数等都有凹凸性，因此函数的凹凸性在初等数学中处处可见.文章首先就对函数凹凸性的几种定义进行研究，近而得到几种定义之间的等价关系.

不等式作为工具，被广泛地应用到数学的各个邻域，著名数学家哈代认为，基本不等式是初等的.初等不等式的证明是高考、数学竞赛以及相关研究的热门课题.初等不等式有多种多样的形式，也有灵活多变的证明方法.在国内外各大数学论坛中，不等式的研究与讨论往往是最受欢迎的.不等式的证明方法多种多样，调整法、局部不等式法、配方法、重要不等式法、求导法、变量代换法、判定定理等等.在证明不等式中，函数的凹凸性即凹凸函数得到了广泛的应用，所以文章将研究并探讨凹凸函数在证明不等式中的应用.在这里，我们还要了解一个不等式Jensen不等式，它是由凸函数衍生出来的，在证明不等式中的应用非常广泛，文章将着重研究Jensen不等式.本文将选取一些典型的例题进一步让我们看到函数凹凸性在证明不等式中的应用，更加直观易懂便接受.

2 函数的凹凸性

在近几年的高等试题中常常出现函数凹凸性问题，这类题目能够考察学生的创新能力和数学素养.利用好函数的凹凸性可以帮助学生掌握函数图像并且可以帮助学生化解一些难题.所以首先要理解并熟悉函数凹凸性的定义，关于函数凹凸性的定义又不单一，若干种关于函数凹凸性的定义值得研究.

2.1 函数凹凸性的定义

有一些函数的图像是向下凸出的（凸的），而有一些函数的图像是向上凸的（凹的），以下以凸函数为例，通过其图像容易发现，我们在曲线上任意取两个不同的点和以它们为端点的直线段总是位于曲线的上方.由于在区间中的任意一点都可以表示成，必定大于它与曲线交点的纵坐标，因此我们有下面几种关于凸函数的定义.

定义1^[1] 如果函数在区间内的任意及，恒有

，

则称为区间上的凸函数．

定义2 设函数是定义在区间上的函数，如果对于上的任意两点恒有：

（1），则称为上的凸函数,

（2），则称为上的凹函数.

定义3 如果函数在区间内可导，并且对于区间内的任意及，恒有

，

则称为区间上的凸函数．

注 定义1的几何意义是：凸函数的曲线上的任意两个点之间的割线一直在曲线的上方．定义2的几何意义是：凸函数的曲线上的任意两个点间割线的中点一直在曲线上相应点(具有相同横坐标)的上方．定义3的几何意义是：凸函数的曲线上的任意一点处的切线，总是在曲线的下方．

以上的三种定义，定义3要求在内要可导，定义2则要求在上是连续的，然而定义1对函数却没有特别的要求．实际上可以证明在定义1中，函数在上是连续的．而定义1和定义2两个定义是否要求函数是可导的，则没有提出．若加上可导的条件，则可以证明三种定义的等价性．

关于凸函数三种定义的等价性进行证明及讨论.

定义1与定义2之间的等价性（定义1定义2）.

分析 先由定义1作为已知条件，证明定义2是成立的.这里取根据定义1的公式，取的话很容易得到定义2是成立的.对于由定义2已知，证明定义1，可以分别讨论为有理数时和无理数时的情况.

定义1定义2

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