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摘 要

换元法在中学数学解题中是一种常用的方法，也是非常重要的方法.它体现了变元、转化思想.在中学数学教学中不仅要传授知识，更重要的是训练学生的思维能力，能够解决问题.本文主要介绍了有关换元法的基本概念和换元法在因式分解、解方程、三角函数、不等式等方面的应用，体会换元法的基本思路，并且提出注意点，尽量采用适当的换元解决问题.

关 键 词：换元法，因式分解，解方程，不等式证明Abstract：Substitution method is frequently used to solve mathematical problems in middle school teaching.It is also very important . It reflects the argument and transforming ideas.In middle school mathematics teaching it not only impart knowledge, but more important to train students" thinking ability to solve problems.This paper introduces the basic concepts of substitution method in terms of factorization, solving equations, trigonometric functions, inequality and other applications.It also help us to experience the basic idea of substitution method and draw attention to the point with using of appropriate methods to solve the problem.

Keywords： Substitution method, Factorization,Solving Equations,Trigonometric functions

目录

1.引言…………………………………………………………………5

2. 换元法的相关概念……………………………………………………………5

2.1换元法的定义…………………………………………………………………5

2.2换元法的基本思想……………………………………………………………5

2.3换元的方法……………………………………………………………………5

2.4换元的意义……………………………………………………………………6

3. 换元法在中学数学中的应用…………………………………………………6

3.1换元法在因式分解中的应用…………………………………………………6

3.2换元法在解方程中的应用……………………………………………………6

3.3换元法在数学常用公式中的应用……………………………………………7

3.4换元法在不等式中的应用……………………………………………………8

3.5换元法在求最值问题中的应用………………………………………………8

4． 使用换元法时应注意的问题…………………………………………………9

4.1用换元法解决的问题…………………………………………………………9

4.2不能用换元法解决的问题……………………………………………………9

4.3选择适当的换元，使运算更方便……………………………………………9

4.4换元后注意新变量的取值…………………………………………………10

结论………………………………………………………………………………11

参考文献…………………………………………………………………………12

致 谢……………………………………………………………………………13

1 引言

中学时期的数学，是学生打好数学底子最重要的时期.在这个阶段教授给学生的都是数学中基本的概念与基本的方法.因此必须要让学生打好基础，这样才能让学生在之后的学习中轻松简单的学习新的数学知识.对学生未来学习数学起着如地基一般重要的作用.

随着我国新课改的实施以及素质教育的落实，旧式的以教师为主体，学生被动学，只注重考试分数而不注重思维方法的教育已经过时.当代的教育，是以教会学生如何学为重中之重的教育.那么对于中学教师来说，让学生学会学习已然成为教授的主要内容，这里我所介绍的“换元法”就是中学数学中基本的数学方法，里面所蕴含的数学思想也是中学阶段学生必须掌握的一种思想方法.

2 换元法的相关概念

2.1 换元法的定义

通常在数学解题中，我们不能直接进行解题，或者不能直接得出结论时，需要引入一个或若干个“新元”代换问题中原来的“元”，使以“新元”为基础的问题求解比较容易，解决以后将结果恢复为原来的“元”，就是原问题的结果.这种方法称为换元法，也称为变量代换法或辅助元素法.^[1][1]

换元法的实质就是进行转换，最为关键的一步就是构造元和设元，理论依据就是等量代换，目标是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，这样把复杂的问题简单化.^[2][2]这就是我们所说的化繁为简，或者称之为转化.

2.2 换元法的基本思路

合理地选择“新元”进行代换，把未知转换成已知，是换元法最为巧妙的设计，从设元到求解到回代、检验，换元法的步骤条理很清晰，当然效果也很明显.它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程中、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用.

2.3 换元的方法

换元的方法主要有：局部换元、三角换元、均值换元等.^[3][3]

局部换元，将原本式子中的一部分用新的变量替代而做的代换，这种方法有时会使原本式子中变量增多，但是可以起到简化式子，清晰结构或者降次等作用，常常使解题更加方便

三角换元，应用于去根号，或者将三角形式变换为易求型，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元.这里主要注意圆的表达式可以用三角函数来替换.但是要注意换元后的定义域问题.

均值换元，是指在某些问题中，已知两未知量的和，这时可将两个未知量用它们的均值和一个新变量来表示，从而使计算化繁为简.

不同的题型，需要使用换元的方法不同，我们在使用换元法时也要遵循有利于运算、标准化的原则，不能盲目的去代换，这里要注意代换后的元的取值范围是否改变.

2.4 换元的意义

使用换元的方法不仅可以使一道复杂的算式简化，而且可以将问题分步解决.换元法是中学数学中重要的一种思想方法，掌握换元法可以使学生的思维更具有条理性，能发散学生的思维，让解题方法变得多样性，锻炼学生的思维逻辑能力.所以换元法是中学生必须掌握的一种基本数学思想.让中学生在掌握知识的同时对数学思想以及数学思维有全新的认识，让学生对于学习数学感到轻松而有趣，同时也为日后学习高等数学打下坚实的基础.

3 换元法在中学数学中的应用

3.1 换元法在因式分解中的应用

用换元法分解因式，它的基本思路就是将多项式中的某一部分用新的变量替换，这里换元法只是将原来式子的形式变得简单，让学生好操作，从而使复杂的问题简单化.

例一：分解因式：.

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