论文总字数：8440字

目录

1.引言 5

1.1 研究意义 6

1.2 国内外现状 6

2.预备知识 7

2.1 基本定义 7

2.2 引理 9

3.主要结果 11

定理 3.1 12

4.总结 12

参考文献 13

致谢 14

线性互补问题模系矩阵分裂迭代方法解的扰动分析

何霁

，China

Abstract:Linear complementarity problem has been widely used in many fields, such as economy, finance, transportation and mechanics. Therefore, how to solve the linear complementarity problem of structural matrix has become a hot topic in the field of numerical computation. However, this kind of problem often involves large sparse matrices. Splitting iteration method for modular matrix is used for an iterative method for solving the linear complementarity problem is proposed recently, it is easy to implement and is very effective in practical application. This paper systematically studies the modular matrix splitting iterative method, and discusses the method of the linear complementarity problem solution of perturbation analysis, namely when the coefficient matrix occurs when the disturbance, the solution for linear complementary changes.

Key words:Linear complementarity problem;Modular matrix splitting iterative method;perturbation analysis

1引言

在工程物理、力学、运筹学和经济等领域中，我们都能寻觅到线性互补问题的影子，互补问题在经济的平衡、非协作竞赛、交通分配等问题中有着广泛的应用。而且它也是线性规划、双矩阵对策、二次规划问题的统一结合。因此，关于线性互补问题的研究既有理论意义，又有应用价值。

线性互补问题有很多种数值解法，主要包括直接法和迭代法，直接法因其具备求解速度快以及解的精度高等优点，常用来求解中小型的线性互补问题；而迭代法在计算过程中能保持矩阵的稀疏结构，使用较小的存储空间，求解速度快，和直接法相比具有稳定性和可行性，所以适用于工程应用中出现的大型稀疏线性互补问题。本文主要研究结构矩阵线性互补问题的模系矩阵分裂迭代方法的解的扰动分析。内容包括:讨论模系矩阵分裂迭代方法解的扰动分析，即当系数矩阵发生扰动时，线性互补问题的解作何变化。

对于给定的矩阵和向量，线性互补问题就是要找到一对向量使得

(1.1)

成立，线性互补问题(1.1),常简记为。其中向量r，z满足互补关系。

线性代数中的扰动分析问题，通常指当系数矩阵发生扰动时，原问题的解作何变化？

如线性方程组的扰动分析问题为：设，为矩阵的扰动矩阵。则方程发生扰动后变为即。

例1.1考虑,，时，

二阶线性方程组的精确解为。假设存在扰动矩阵=，并且右端也存在扰动，则有发生扰动后的方程组为，可以求出这个方程组的精确解为:。

可见，系数矩阵和右端项的微小变化引起了解的巨大变化。因此研究线性互补问题解的稳定性是很有必要的。当原始数据的小变化引起解的很大变化时，那么该问题就是病态的或不稳定的；否则，称该问题是良态的或稳定的。

本文结构如下，在第二部分我们给出一些有用的引理和定理。第三部分我们建立模系矩阵分裂迭代方法解的扰动分析，并给出主要结果。在第四部分中，我们作出相关总结。参考文献和致谢部分放在最后。

1.1研究意义

21世纪是计算机发展的高峰时期，很多数学问题都可以通过计算机来解决！这就使得数学在解决科技生产重大实际问题的过程中的作用得到了充分的体现，其研究价值在科学技术发展过程中也越来越显著，其中以计算数学尤为突出。线性互补问题的高效求解与误差分析已然成为时下计算科学重要课题之一。

在人们的日常生活中，经济问题，对策论的研究，乃至于数学类的规划问题和工程领域相关的都对线性互补问题理论有大范围的应用。例如，它之于目前的双矩阵对策，空间价格平衡，接触和断裂力学，乃至于障碍和自由边界问题，流体弹性动态润滑问题。均大范围的在应用。因此，如何有效地求解结构矩阵线性互补问题开始成为计算数学界的一个研究热点。本项目主要研究结构矩阵线性互补问题的模系矩阵分裂迭代方法。内容包括: 讨论模系矩阵分裂迭代方法解的扰动分析，即当系数矩阵发生扰动时，线性互补问题的解作何变化。
本文旨在促进结构矩阵线性互补问题的模系矩阵分裂迭代方法解的扰动分析研究, 为求解结构矩阵线性互补问题提供有效的方法和理论，有着一定的理论和实际意义。

1.2国内外现状

21世纪初，研究线性互补问题的求解方法成为一个热点。经过几十年的发展，不仅线性互补问题的理论研究得到了极大地丰富和改善，更多的有效的算法也相继问世。

目前，求解线性互补问题的方法有很多，但这些算法往往存在一定的局限性，并不能很好地解决实际问题，因此对这些方法的改进是很重要的。

最近几年来，随着对线性互补问题算法研究的不断深入，用迭代法求解线性互补问题的

文章层出不穷。此外，许多求解线性互补问题的新算法不断涌现，如多分裂法（亦称为平行迭代算法），二阶分裂法，自适应内点法，超松弛迭代法和共轭梯度法等等。

鉴于矩阵分裂方法在求解线性系统中的广泛应用，很多学者便开始思考求解结构矩阵线性互补问题能否使用矩阵分裂法来求解，因此矩阵分裂思想和矩阵分裂迭代方法求解结构矩阵线性互补问题的思想便应运而生。近些年来，经过学者们的努力，发展出了一些比较强有力的矩阵分裂迭代方法来研究结构矩阵线性互补问题的数值解，并取得了一些丰硕的成果。迄今为止，结构矩阵线性互补问题的模系矩阵分裂迭代方法的课题仍然有很大空间，如，对于不同类型的结构系统矩阵的分裂研究；参数和参数矩阵选取问题的研究等等仍然有待研究。另外，结构矩阵线性互补问题的模系矩阵分裂迭代方法解的扰动分析也是一大研究主题。