矩阵分解及其应用-毕业论文网

论文总字数：13121字

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摘要 4

Abstract: 5

一、绪论 6

1.1 论文的研究意义 6

1.2 论文的研究思路 6

1.3 国内外研究的现状 6

1.4 论文的研究内容 7

二、矩阵的三角分解法 8

2.1 矩阵三角分解的概念及定理 8

2.2 矩阵三角分解的常用方法及应用举例 9

2.2.1 （高斯）消元法 9

2.2.2 （杜利特尔）分解法 12

2.2.3 （乔列斯基）分解法 13

三、矩阵的分解法 14

3.1 矩阵分解的基本概念及定理 14

3.2 矩阵分解的常用方法及应用举例 15

3.2.1 利用正交化方法 15

3.2.2 （吉文斯）变换法 16

3.2.3 变换求矩阵的分解 18

3.2.4 利用初等变换求矩阵的分解 19

3.2.5 利用行(列)初等变换法 21

四、矩阵的奇异值分解 22

4.1 矩阵奇异值（）分解的概念及定理 22

4.2 矩阵奇异值分解的常用方法及应用举例 23

五、矩阵分解的程序实现 24

5.1 矩阵分解编程的意义 24

5.2 矩阵分解的算法思想 24

5.3 程序框图 25

5.4 程序代码 27

5.5 程序测试 29

六、结语 32

参考文献 33

致谢 34

矩阵分解及其应用

赖正华

,China

Abstract: Mathematics is one of the most extraordinary and fundamental subjects which is founded earliest in science.Matrix is an important branch of math.The decomposition of matrix is converting a complex matrix into the product of some simple matrices.And this is the purpose of matrix decomposition.

The contents of this paper include three commonly used decomposition methods of matrix decomposition about triangular factorization,QR factorization and singular value decomposition.In the end this thesis developed the computer programs by C compiler to achieve the whole computing processes of LU decomposition.Then we give the process diagram and pass the program test.

Keywords: matrix decomposition;triangular factorization;QR factorization;singular value decomposition;

application一、绪论

1.1 论文的研究意义

在数学这一基础学科中，矩阵的概念就是较早时期一个线性方程组的系数和常数化为用实复数集合排列的矩形阵列，现在我们将矩阵称为复数与实数集合的矩形方阵。数学家凯利19世纪首先在英国提出了这个概念。

矩阵不单在高等代数^[1]中的作为常用的矩阵问题解决工具，也在应用数学学科中，如解析几何、数学分析、统计学等。此外在另一个自然学科物理学中，矩阵于大气物理学领域、量子力学领域、流体力学领域、信号处理和噪声处理^[4]中都有其众多的应用，不仅如此，在计算机科学领域中，3D建模，程序编程，影视后期制作等也有矩阵发挥效用的一席之地。因此矩阵在众多学科、领域里的作用是毋庸置疑的，那么矩阵的运算便成了核心问题，在数值分析领域中占据着重要地位。将大型矩阵的计算分解为各个矩阵的乘积形式能够在理论中和日常实践应用中矩阵的运算更为简单，减少繁杂的计算。对角矩阵和稀疏矩阵等这些经常运用而拥有其不同于其他的特殊形式的距阵，有它们特别的算法使得它们能够得到快速运算。对于综合概述矩阵相关理论的发展历史及其应用领域^[8]的内容，矩阵理论^[2]中有着详尽的描写和解读，不一而足。

1.2 论文的研究思路

本文主要总结了矩阵分解的常用分解方式:第一种是三角分解法(由消元法演变而来的解线性方程组的一类方法)。第二种是分解法（求一般矩阵全部特征值的最有效并广泛应用的方法）。第三种是奇异值分解法。在具体问题中将以上方法加以运用，最后通过计算机编程实现以矩阵分解方法来解决矩阵计算中的数字复杂矩阵难题。

1.3 国内外研究的现状

按照当下数学学科发展的历史文献记载，矩阵这一概念最早出现在19世纪50年代，它是用来解决线性方程组的问题所应运而生的。

但是，我国早在公元前就已经有了矩阵这个概念的萌芽。比如在中国历代各位数学家增补修订的《九章算术》这本书中已经有了关于矩阵这一概念的简单描写，就是没有把它当成一个独立的概念，用于研究，只是单纯用它去解决一些具体的问题，因此最后没有形成一套完整的矩阵理论体系。

矩阵这个概念要从1850年开始讲起，一位著名的英国数学家名为西尔维斯特，当他在研究一个未知量的个数与方程的个数有所差别的线性方程组的集合时，恰巧没有办法运用行列式求解，矩阵的概念便由此诞生并被引入了数学体系中。

1855年，另一位著名的英国数学家名为凯莱，当他在钻研线性变换下的不变量时，由于要寻求简易高效，于是矩阵这一概念就被引入并用于解决问题了。3年之后，凯莱在他的科研报告《矩阵论的研究报告》里，他给定关于两个矩阵相加、相等和数与矩阵的数乘等算律及其运算的定义，同期，又定义了像零矩阵、单位矩阵等特殊的矩阵，更难能可贵的是在这篇文章中他提到了关于矩阵可逆、相乘等重要概念，还有利用伴随矩阵来求解逆矩阵的方法，证明了相关的算律，比如说矩阵乘法适用结合律，却不适用于交换律，零矩阵可以使两个非零矩阵的乘积等等，定义了对称矩阵、反对称矩阵、转置矩阵等概念。