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目 录

1．研究背景 3

2．模型建立 4

3．理论准备 5

3.1基本定义 5

3.2基本定理 6

4．稳定性研究 9

4.1局部稳定性分析 9

4.2全局稳定性分析 13

5．讨论 16

6．总结 18

参考文献 19

致谢 20

一类具有时滞和阶段结构的食饵－捕食模型的稳定性分析

王宁

，China

Abstract：A　Predator-Prey model with time delay and stage structure for predator is investigated . Firstly，by analyzing the characteristic equations and using Routh-Hurwitz Theorem，the local stability of the model in the non negative boundary equilibrium and positive equilibrium is discussed．Next，by making appropriate Lyapunov functions and using Lasalle’s Invariance Theorem，sufficient conditions are proved for the global asymptotic stability of the non negative boundary equilibrium and positive equilibrium．Finally，we discussed the practical significance of the equilibrium’s stability．

Key words：Time delay；stage structure；predator-prey model；stability．

1．研究背景

二十世纪以来，生命科学飞速发展，与生命科学相关的生物化学、生物数学和生物医学等一系列交叉学科也成为学者们的研讨内容．生物数学作为数学与生物学之间的交叉学科，是其中发展时间最短的学科之一．它在模拟、分析和解决生物学问题时，使用的是数学上的相关方法，它还要对与生物学有关的数学方法进行理论推导和研究．1974年，生物数学被联合国教育、科学及文化组织作为独立学科编入目录之中，近些年来生物数学学科的发展速度更为迅猛．

从某个单种群模型开始研究，能够在利用数学模型研究生物数学课题时，更简便地得出具有普遍性的原理．但是，只有在理想环境下，才能做出有关单种群模型的与真实结果最为相似的模拟效果，而在真实的生态系统中，真正的单一种群少之又少．故本篇论文针对两种群模型进行讨论．

两种群在一个共同的生态系统中生存，它们之间的相互作用情况，只有以下四种：

1. 食饵（被捕食者）和捕食者（predator-prey）
2. 寄主和寄生物（parasite-host）
3. 　　两种群互相竞争（competitive）
4. 两种群互利共存（commensal）．

本篇文章讨论第一种情况：食饵和捕食者．

为了研究食饵－捕食模型这类生物数学中非常典型的模型，生物数学和数学的学者们在食饵与捕食者之间的相互作用关系方面做出了大量的．

洛特卡－沃尔泰拉（Lotka-Volterra系统）分别由美国生态学家Lotka和意大利数学家Volterra所独立提出，其中，Lotka系统是由Lotka在1921年研究化学反应时提出的，Volterra系统是由Volterra在1923年研究鱼类竞争时提出的．现在，洛特卡－沃尔泰拉系统已成为生物数学研究中的传统模型之一：

其中，分别代表，均为常数且．通过该模型容易发现，食饵的数量在没有捕食者或者捕食者稀少的情况下，不会得到抑制，将会进行无限制的增加，很显然这是不符合自然界实际情况的．

在现实的生态系统中，物种的增长，常常伴随有一个孕育成长的过程，即从胎儿到诞生，从幼儿到少年，从少年到成年，从成年到老年等．时滞的出现，往往会给动力学系统带来较大的．由于在自然界和人类社会中，时滞现象具有共性和普遍性，因此，具有时滞的食饵－捕食模型受到越来越多学者们的青睐．中提出了具有离散时滞的食饵－捕食系统

　 （1）

其中，分别代表食饵和捕食者的种群密度；，分别代表食饵、捕食者的自身增长率；分别代表两种群的种内作用系数；代表两种群的种间作用系数；代表捕获时间，代表捕食者发育成熟所需时间．分别代表食饵、捕食者的孕育生长所需时间．

就捕食者而言，幼儿个体一般不具备捕食能力和繁殖能力，而成熟个体一般具有较强的，因此把幼儿个体和成熟个体看作是具有相同特征的实验对象，显然是不符合自然界基本规律的．然而在很多生态模型中，这种做法频频出现．故考虑具有阶段结构的食饵－捕食模型更有参考价值．以洛特卡－沃尔泰拉模型为基础，考虑捕食者种群中，幼儿个体没有捕食能力，且成熟个体通过捕食活动不断强健体魄、降低伤亡数的情况，从而得到的食饵－捕食者模型：

　 （2）

其中，，分别代表食饵、幼年捕食者和成年捕食者的种群密度．，， ，，，和均为常数且满足．代表食饵的自身增长率，代表食饵种群的种内作用系数；就捕食者而言，代表单位时间内成年群体的捕食率，代表成年群体的繁殖率，，分别代表幼年群体和成年群体的死亡率，代表幼年群体的成熟率， ／代表成年群体的捕食转化系数．

2．模型建立

本文基于上述模型（1）（2），综合考虑能反映实际情况的时滞因素和能精确描述客观事实的阶段结构，并且成年捕食者孕育生长所导致的时滞为主要因素，讨论如下具有时滞和阶段结构的食饵－捕食模型：

（3）

其中和的含义与系统（1）中相同； ，，，，，，和的含义与系统（2）中相同；／代表捕食者种群的捕食转化率；代表成年捕食者的孕育生长所需时间．

本文所讨论的系统（3）基于下列初始条件：

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