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目录

1.引言 5

1.1 研究意义 6

1.2研究现状 6

2.预备知识 7

2.1 基本定义 7

2.2 引理 9

3.主要结果 10

3.1 范数型条件数 10

3.2 注记 12

4.总结 13

5.数值例子 13

参考文献 15

致谢 17

一类广义Sylvester方程的条件数分析

王晨

, China

Abstact : Generalized Sylvester matrix equation has found an increasingly wide utilization in fields of scientific computing and engineering application,such as the spacecraft and robot control of control system theory, image restoration,signal processing and so on.Since a lot of researches can be translated into the solution of generalized Sylvester equation, it's very important to analyze the perturbation analysis for this type of equation especially on the condition numbers. The condition numbers of matrix equation is a major attribute, which measures the solutions of equations about the sensitivity for data perturbation.The research of condition numbers has a pivotal position.In this thesis, we will discuss the perturbation analysis of generalized Sylvester equation and derived accurate expressions and upper bounds for normwise.

Key words: generalized Sylvester equation, condition number, normwise, perturbation analysis

1.引言

在计算数学的研究中，矩阵扰动分析是其中重要的一个组成部分。一些矩阵元素会经常产生变化，矩阵扰动分析是研究这些变化对于矩阵问题的解所造成的影响。该问题的研究对于矩阵论，算子理论和矩阵计算都有着重要的意义。我们所求的相关问题解的条件数，是度量这个问题的解对于数据扰动的敏感性。这里所要研究的条件数，是矩阵扰动分析理论中的一个重要课题。

Sylvester方程起源于应用数学与控制系统理论的相关领域，它由Sylvester等人首先提出，在应用数学中，矩形域上的关于椭圆边值的问题需要经过一定方法进行离散，离散后可以将原问题转变成Sylvester方程，在常微分方程定性理论研究，和运用数值方法求解常微分方程的隐式龙格--库塔方法与块方法中也经常会遇到这种方程；在控制论领域中，振动的结构分析，尤其是航天器控制和机器人控制等领域有着非常广泛的应用。它还被经常用于极点配置和特征结构配置，观测器设计和线性系统的鲁棒性故障检测。

在这里，我们研究的广义Sylvester方程的形式具体如下:

（1.1）其中，，，是未知的矩阵，且是可逆对角矩阵。

贯穿全文，我们要用到以下运算符号和定义：

：矩阵的谱范数

：Frobenius范数

：

：∞-范数

：矩阵的元素是

对于任意的，有，.

1.1 研究意义

数学作为一切科学之母，在我们的生活之中无处不在。在人类历史的发展进程与平常的社会生活中，它发挥着无法替代的作用，也是研究现代科学技术的基本工具。在数学的分支中，计算数学的地位是尤为突出的，它是研究计算问题的解决办法和有关数学理论问题的一门学科，在各行各业中我们都会应用到它。而矩阵的扰动分析是计算数学中十分重要的研究课题之一，其中关于广义Sylvester矩阵方程的条件数分析是最具代表性的。

广义Sylvester矩阵方程，在电路和计算机的辅助设计，信号的处理和一些控制系统理论，微分方程数值的求解，动力系统等问题上有着广阔的应用前景。此外，有关矩阵扰动分析的研究对矩阵论的发展及数值分析问题计算结果的分析和处理都有着很重要的意义。正因为如此，对于矩阵方程的扰动分析的研究就尤为重要。其中，关于条件数的研究是矩阵扰动分析中的一个重要课题。条件数主要反应计算问题的解关于数据扰动的敏感性，它是所研究问题的解对该问题数据扰动的敏感性的一个测度，在扰动分析中占有着重要地位。

本文的主要目的是研究一类广义Sylvester方程的条件数，主要对它的范数型条件数进行分析，得到准确的表达式和相应的上界，并通过数值算例验证结果。

1.2研究现状

科学技术发展日新月异，在工农业、交通运输、医疗教育等领域，在我们生活的方方面面，科学计算都起着不可或缺的作用，而矩阵扰动分析的研究也逐渐成为计算数学中的重要课题之一。同时，广义Sylvester方程也出现在许多与我们生活息息相关的领域当中，其中，方程的条件数分析是亟待解决的重大课题之一。无论从理论方面还是其本身方面来看，都存在很多没有解决的问题，所以我们继续这方面的研究非常必要。

由于广义Sylvester方程在控制系统理论和应用数学方面上的广泛应用，越来越多的学者加入到对这类方程的研究队伍中去，各种各样的研究成果被提出来。条件数方面的研究也因此越来越丰富，同时，随着计算机的快速发展，相信对于方程条件数扰动分析的研究将会越来越深入。近些年来，国内外学者纷纷提出了范数型条件数，混合型条件数和分量型条件数，而作为最经典的范数型条件数，相关方面的理论还有待更多的学者去研究和挖掘。

近年来，随着各个学科理论的日益完善，计算数学作为研究各类科学计算方法的重要手段和工具，它与各学科的交叉渗透越来越复杂，因此也更加迫切的需要计算数学相关方面的人才去投入到这方面的研究中去。