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摘 要

电机是工业、国防、航空、航天等领域中重要的电磁装置，随着电力电子技术、控制技术以及材料科学的不断进步，各种新型电机层出不穷。本文以四类电机（直流电机、异步电机、电励磁同步电机以及永磁同步电机）为对象，对电机的数学模型进行归纳总结和对比分析，指出共性规律和差异化特点，为电机设计、分析和控制奠定基础。

首先从机电能量转换原理出发，分析电机电磁转矩的产生条件；然后，对比数学模型的假设条件，探讨四种电机在自然坐标系、两相静止坐标系以及同步旋转坐标系下的数学模型；最后，针对其他数学模型的相关问题进行了探讨，并给出有意义的结论。对各个电机数学模型来说，最关键的物理量是气隙磁链，或者说是电感矩阵。在经坐标变换后的数学方程便于计算和仿真，便于电机控制系统仿真建模和特性分析。

关键词：电机，电磁转矩，数学模型，坐标变换，假设条件

Abstract

Motor is an important electromagnetic device in industry, national defence, aviation, aerospace and other fields, with the rapid development of the power electronic technology, control technology and the advance of material science, all kinds of new type motor emerge endlessly. In this paper, four types of motor, including DC motor, asynchronous motor, the electric excitation synchronous motor and permanent magnet synchronous motor, are studied and summarized the mathematical model of motor and comparative analysis, as well as points out that the common law, the characteristics of the differentiation, lay a foundation for the motor design, analysis and control.

Firstly, from the principle of electromechanical energy conversion, the generation conditions of electromagnetic torque are analyzed. Secondly, the mathematical models of the four motors in the natural coordinate system, two-phase static coordinate system and synchronous rotating coordinate system are discussed in this paper. Finally, the related problems of other mathematical models are discussed and meaningful conclusions are given. For each mathematical model of the motor, the most important physical quantity is the air-gap magnetic chain, or inductance matrix. The mathematical equation transformed by coordinate transformation is convenient for calculation and simulation, and easy for simulation modeling and characteristic analysis of motor control system.

KEY WORDS：Motor,Electromagnetic torque,Mathematical model,Coordinate transformation,Assumptions.

目 录

摘要 I

Abstract II

第一章 绪论 1

1.1 研究背景及意义 1

1.2 研究现状 1

1.3 本文研究工作 2

第二章 电磁转矩产生条件 3

2.1 平均电磁转矩的产生条件 3

2.2 恒定电磁转矩的产生条件 4

第三章 基本数学模型 5

3.1 数学模型的假设条件 5

3.2 直流电机的数学模型 6

3.2.1 磁链方程 6

3.2.2 电压方程 7

3.2.3 转矩方程 8

3.3 异步电机的数学模型 8

3.3.1 磁链方程 8

3.3.2 电压方程 9

3.3.3 转矩方程 10

3.3.4 运动方程 11

3.4 电励磁同步电机的数学模型 11

3.4.1 磁链方程 11

3.4.2 电压方程 14

3.4.3 转矩方程 14

3.4.4 运动方程 15

3.5 永磁同步电机的数学模型 16

3.5.1 磁链方程 16

3.5.2 电压方程 16

3.6 分析总结 16

3.6.1 假设条件 16

3.6.2 磁链方程 17

3.6.3 其他方程 17

第四章 不同坐标系下数学模型的对比 18

4.1 空间矢量原理 18

4.2 坐标变换 18

4.2.1 三相静止坐标系变换到两相静止坐标系 18

4.2.2 两相静止坐标系变换到任意两相旋转坐标系 19

4.2.3 三相静止坐标系到任意两相旋转坐标系的变换 20

4.3 在轴系下的数学模型 20

4.3.1 异步电机在坐标系下的数学模型 20

4.3.2 电励磁同步电机在坐标系下的数学模型 20

4.3.3 永磁同步电机在坐标系下的数学模型 21

4.4 在dq0轴系下的数学模型 21

4.4.1 异步电机在坐标系下的数学模型 21

4.4.2 电励磁同步电机在坐标系下的数学模型 22

4.4.3 永磁同步电机在坐标系下的数学模型 23

4.5 分析总结 23

第五章 数学模型的其他相关问题 25

5.1 各种电机状态方程的对比 25

5.1.1 用状态方程描述异步电机数学模型 25

5.1.2 用状态方程描述电励磁同步电机数学模型 26

5.1.3 分析总结 27

5.2 各种电机功率模型的对比研究 27

5.2.1 直流电机的功率模型 27

5.2.2 异步电机的功率模型 28

5.2.3 永磁同步电机的数学模型 29

5.2.4 分析总结 30

5.3 各种电机控制模型的对比研究 31

第六章 总结 33

致谢 34

参考文献 35

绪论

研究背景及意义

在电机理论的发展过程中，电机理论最早依靠的是矢量数据进行近似分析，之后利用矢量代数来表示交流稳态的数据，并通过绘制相应的矢量图和圆图来表示数学模型，再发展到应用代数方程及微分方程对数学模型做量化分析。从粗略的定性分析到求得大致的定量解，再利用坐标变换原理使电机的磁场解耦，引出了矢量控制的方法，参照直流电机转矩控制的规律，应用在其他类型电机的控制上，推动电力传动和控制技术的发展。总的来说，电机理论的发展历史，可以说是不断建立和发展电机数学模型的过程史。

描述电机系统中各个物理量之间的关系式以及系统性能的数学表达式构成了数学模型。建立数学模型是认识电机运动规律、分析变量之间因果关系的基础，只有建立了数学模型才能进一步的分析和设计电机。数学模型的表现形式是多样的，可以是数学关系式也可以是图表。随着科技的发展，电机的数学模型不可能一成不变，必须建立与之相适应的模型。而近些年来一些新型电机、机电一体化产品等的产生，要求在进行相关的设计、控制、运行等问题上时更深入地认识其内在机理，研究出新的理论来建立相应的数学模型，从而可以更加真实的仿真出电机的运行性能。所以研究各类电机的数学模型已成为当务之急。

研究现状

目前数学模型在电机理论研究和技术发展中的应用涉及到许多不同的科学领域，相应的模型类型很多，形式多样。但是在我们认知中，电机主要分为直流电机和交流电机，其中交流电机又分为异步电机和同步电机，此外随着科技的进步各种永磁电机也出现在生活中。对于这些电机，他们各自都有相对完整的数学模型，但是对于这几类电机的数学模型，并没有将它们放在一起进行过对比研究。通过对比归纳找出他们之中的共通之处，从而更好地了解出各种电机不同的结构特点、内部磁场的能量变化，找出其中可供参考的异同之处，归纳总结出其中可以适用于普遍情况的数学模型，这对于日后对新型电机的分析计算、辨识仿真、调速控制、运行维护、机辅设计和优化以及可靠性和检测等等都是有着重要的帮助和价值的。由此可以看出对多种数学模型对比研究是有意义的。

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