随机利率模型下的寿险产品定价问题研究

论文总字数：40005字

题 目 随机利率模型下的寿险产品定价

问题研究

数学 院（系） 统计学 专业

学 号 07315105

学生姓名 李源

指导教师 张鑫

起止日期 2019.1.1-2019.5.30

设计地点 东南大学数学学院

\documentclass[bachelor,nocolorlinks, printoneside]{seuthesis} % 本科

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\newtheorem{theorem}{\hspace{2em}定理}[section]

\newtheorem{lemma}{\hspace{2em}引理}[section]

\newtheorem{Proof}{证明}[section]

\floatname{algorithm}{算法}

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% 这里是导言区

\begin{document}

\title{随机利率模型下的寿险产品定价问题研究}{}{Research on Pricing of Life Insurance Products under Stochastic Interest Rate Model}{subtitle}

\maketitle

\begin{abstract}{随机利率,\ CIR模型,\ 寿险产品定价,\ 泊松跳跃}

利率的随机性对寿险产品的定价具有深刻影响，对随机利率的研究具有重要意义，目前的研究已经广泛地应用随机过程描述利率的动态变化。本文首先选取CIR模型构建仿射随机利率模型，并在此模型下完成了多种寿险产品的定价计算。为了刻画突发事件给利率带来的随机跳跃，本文将泊松过程与CIR模型相结合，引入标记点过程建立带泊松跳跃的仿射随机利率模型并完成寿险产品的定价计算，提高了利率模型的精确性，降低了利率波动给保险人和被保险人带来的经济风险。

\end{abstract}

\begin{englishabstract}{stochastic interest rate,\ CIR model,\ pricing of life insurance products,\ Poisson jump}

The pricing of life insurance products is deeply affected by the randomness of interest rates. The research on stochastic interest rates is of great significance. The current research has widely applied stochastic processes to describe the dynamic changes of interest rates. In this paper, the CIR model is firstly chosen to construct an affine stochastic interest rate model, and the pricing calculation of various life insurance products is completed under this model. In order to describe the random jump caused by unexpected events, this paper combines the Poisson process with the CIR model, introduces the marker point process to establish an affine stochastic interest rate model with Poisson jump and completes the pricing calculation of life insurance products, which improves the accuracy of the interest rate model and reduce the economic risks brought by interest rate fluctuations to insurers and insureds.

\end{englishabstract}

\tableofcontents

\begin{Main} % 开始正文

\chapter{引言}

\emph{利率是寿险产品定价问题中的重要因素。在传统的寿险产品定价计算问题中，一般情况下保险公司会假设一个确定性的利率，并在此利率下计算被保险人应缴纳的各类保费，在一段较长的保单时限内，保费受到利率水平的影响十分深刻。但在实际的金融市场中，利率会受到政策环境、经济变化、社会状况、突发事件、自然灾害等众多因素的影响而时刻处于动态变化之中。当实际利率波动剧烈，且与预定利率之间相差较大时，会严重影响预定利率情形下保费的精确性和有效性，从而给保险公司或被保险人带来风险，因此对短期利率的研究具有重要意义。

目前，随机模型已被广泛应用于金融和保险等领域，研究人员已提出了许多随机利率模型对短期利率进行有效的描述，并由此建立了许多有价值的寿险模型。例如，提出一阶自回归模型模拟利率的随机性，利用马尔科夫过程模拟破产概率研究中的一系列利率等，这些模型的提出丰富了随机模型在利率模拟和精算学中的应用，但这些模型都假定一年内的利率是固定的，这与实际的金融市场不符。由Chart、Karolyi、Longsmff和Sanders等四人提出的CKLS模型系改善了这一缺陷，极大地推动了对短期利率随机行为的研究。此外，短期利率在随机波动的同时，还受到金融资产价格大幅变动、股市债市崩盘等突发事件的影响，表现在利率模型中即利率的随机跳跃。目前，研究人员已利用泊松过程、维纳过程等随机过程模型模拟利率的随机跳跃。

本论文首先在不包含随机跳跃的情形下利用CIR模型建立仿射随机利率模型，并在此模型下完成各类保费的计算。然后在CIR仿射随机利率模型中加入随机跳跃，建立包含跳跃的仿射随机利率模型并进行寿险产品定价计算。通过CIR模型与随机跳跃的结合，更加准确地描述短期利率的随机性，提高寿险产品定价的准确性。

本论文结构如下：

第二章主要介绍CKLS模型系及CIR模型，并利用Ito公式为寿险产品定价做准备计算。

第三章主要对各类寿险产品进行简要介绍并完成CIR随机利率模型下的寿险产品定价计算。

第四章主要利用复合泊松过程对随机跳跃进行描述，并将随机跳跃加入到CIR模型中建立包含跳跃的仿射随机利率模型，最后利用广义Ito 公式完成在此模型下的寿险产品定价计算。

第五章对全文进行总结。}

\newpage

\chapter{CIR模型及寿险产品定价的准备计算 }

本章首先介绍了CKLS模型系，并选用CIR模型描述短期利率，然后通过构造鞅的方法，利用鞅的性质及Ito公式获得零息债券在$t$ 时刻的价格$P(r_t,t,T)$所满足的微分方程，最后求解微分方程得到$P(r_t,t,T)$的表达式，为CIR随机利率模型下寿险产品的定价做了准备计算。

\section{CIR模型}

\subsection{维纳过程}

\begin{Definition}

维纳过程的定义如下:若$\{X(t),t\geq0\}$是一个随机过程且满足：

$(1)$ $X(t)$是独立增量过程；

$(2)$ 任意$s,tgt;0, X(s t)-X(s)\sim N(0,\sigma^2t)$，即$X(s t)-X(s)$是期望为$0$，方差为$\sigma^2t$的正态分布；

$(3)$ $X(t)$是关于$t$的连续函数，

则$\{X(t),t\geq0\}$称为维纳过程或布朗运动，$W(0)=0$。

\end{Definition}

维纳过程具有如下性质：

（1）维纳过程是独立增量过程，即在任意两个不相交的时间区间上，其增量的概率分布都是相互独立的；

（2）维纳过程在任意有限时间区间上的增量服从正态分布，其方差与区间长度成正比；

（3）维纳过程是一个马尔科夫过程，因此该过程的未来值不依赖于其过去值，只依赖于目前状态。

\subsection{CKLS模型系}

CKLS模型对利率随机波动性的研究具有重要意义。该模型的具体形式为：

\begin{equation}

dr_t=(\alpha \beta r_t)dt \sigma{r_t}^\gamma dw_t

\end{equation}

其中，$\alpha$，$\beta$， $\sigma $，$\gamma$ 为常数，$ dw_t $为维纳过程增量，$ E[dw_t]=0$，$E[d{w_t}^2]=dt$ ，瞬时期望漂移率为 $\alpha \beta r_t $，瞬时方差率为$\sigma ^2{r_t}^{2\gamma}$。

对模型中的四个参数做适当的限制，即可得到CKLS模型系，以下是其中几个重要的随机利率模型：

Black-Scholes(1973)：$dr_t=\beta r_t dt \sigma r_t dw_t$；

CIR\,VR(1980)：$dr_t=\sigma {r_t}^{\frac{3}{2}} dw_t$；

CIR\,SR(1985)：$dr_t=(\alpha \beta r_t)dt \sigma \sqrt{r_t} dw_t$；

CKLS(1992)：$dr_t=(\alpha \beta r_t)dt \sigma{r_t}^\gamma dw_t$

CIR0(1996)：$dr_t=(\alpha \beta r_t)dt (\phi \sigma{r_t}^\gamma) dw_t$

本文我们采用CIR模型：$dr_t=(\alpha \beta r_t)dt \sigma \sqrt{r_t} dw_t$。

形如CIR模型的随机利率模型也称为仿射随机利率模型。\cite{Yanruizeng}

\section{零息债券价格$P(r_t,t,T)$的计算}

将到期期限为$T$的零息债券在$t$时刻的价格记为$P(t,T)$，其中$t\leq T$，则易知

\begin{equation}

P(t,T)=E\left(e^{-\int_t^Tr_sds}|{\mathcal{F}}_t\right)

\end{equation}

其中，$r_t$为$t$时刻的短期利率，$\mathcal{F}_t=\sigma(r_s,s\leq t)$为$s\leq t$时的$r_s$生成的$\sigma$代数。

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