基于位置权重约束的投票共识建模研究

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目 录

1 引言1

2 基于位置权重约束的投票共识模型的构建3

2.1 位置权重无约束的投票共识模型4

2.2 位置权重有下界约束的投票共识模型6

2.3 位置权重约束为的投票共识建模7

3 基于位置权重约束的投票共识模型的经济意义8

3.1 对偶变量的经济意义8

3.2 模型(6)和模型(7)中最优解之间的联系9

3.3 候选者的经济意义9

4 案例分析9

4.1 位置权重无约束的投票共识模型案例10

4.2 位置权重有下界约束的投票共识模型案例11

4.3 位置权重约束为的投票共识建模案例13

5 结论与未来研究17

参考文献18

致谢20

基于位置权重约束的投票共识建模研究

张宁

, China

Abstract: In the democratic vote with centralization of power, the final result of the vote is not only depend on the opinions of the voters, but also influenced by the moderator's opinion. This paper proposes a voting-consensus optimization model: The weights of places are constraints, and the minimum deviation between the moderator's expected scores and the weighted scores of candidates' votes are the objective function. The conclusion of this paper is as follows: The deviation between the weighted scores of candidates and the expected scores of moderator is a monotonic increasing function of lower bound of the weight of places; the deviation between the weighted value of candidates' votes and moderator's expected scores is equivalent to the moderator's total utility achieved by affecting candidates' votes; the optimal value of moderator's opinion is equivalent to the sum of the utility of deviation between moderator's opinion and candidates' scores.

Keywords: Moderator's opinion; Voting-consensus optimization model; Data Envelopment Analysis

1引言

在具有偏好的投票系统中，需要投票人从m个候选人中选取k个成员并按照位置的重要性进行排列。Borda和kendall提出了"method of marks"的方法来获取共识意见。Borda-kendall方法的特点是赋予位置以主观权重，通过集结偏好选票中的票数来获取意见共识^[1,2]。Cook及Kress推广了Borda-kendall投票模型，通过构建DEA模型来获取位置的客观权重，通过集结各候选人在各个位置的投票数（投票得分），来获得对候选人的总排序^[3]。Cook及Kress又提出了一个基于距离共识的总体框架，并基于该框架构造能达成共识目的的有序排名模型^[4]。Ying-Ming Wang分别提出了基于区间效用函数方法、有序加权平均方法来解决偏好排名问题^[5,6]。偏好投票建模的研究大致分为两类：一类是侧重集结方法的研究，另一类则强调投票规则的研究。偏好投票的最终目的是为了获得公平、合理的投票结果最终达成投票共识。

在投票集结问题中，不同的集结方法可能会导致投票结果的差异。近年来，相当多的研究者希望构建有效的投票集结模型，使其更能体现投票信息集结的合理化和有效化。 Mohamed Drissi-Bakhkhat等人将可变概率的极大似然方法用于投票集结问题研究^[7]。Majid ZerafatAngiz L.等人引入模糊概念和数据包络分析方法，针对聚集投票偏好排名问题，提出了基于模糊数据包络分析的四阶段方法^[8,9]。Hanan G.Ayad等人把投票问题作为多投入、多响应变量的回归问题来处理，大幅改进了聚类的准确性、稳定性^[10]。基于简单多数原则和排序复选制原理，Patrick Hummel等人通过构建新的差额选举模型，实现对有共同利益但不完全知情的选民的信息集结^[11]。H. Bustince等人采用罚函数，推广出仅使用一个单变量的加权投票模型，从而实现加权投票模型的一般化^[12]。另外，Jorge Alcalde-Unzu等人为了实现非匿名投票集结问题，采用以不同方式对待具有不同特性投票者的原则，提出类型加权批准投票原理，这些原理共同描述了一类新的选举程序^[13]。Eneldo Loza Mencía等人推广了QWeighted算法，为有效的成对多类投票问题进行多标记设置，并评估了在几个真实世界数据集中的适应算法^[14]。Mohammad Khodabakhshi等采用一种乐观-悲观方法，将决策问题中所有的偏好排序集结为单一的排序^[15]。针对加权投票经常被批评为缺乏一个健全的理论论证的问题，Eyke Hüllermeier等人在一个标签排名的正式框架中，结合成对分类预测方法，提出一个最佳的自适应投票策略，并证明加权投票模型近似于最佳的自适应投票模型^[16]。

其他研究者侧重通过统计实验等方法对投票规则、投票方法进行相关研究，力求获取一个普遍适应的投票选举模型，以达到投票的公平性。选举中，针对多个候选人信息效率集结的困难，Johanna M.M通过具有泊松人口的不确定性和三名候选人的投票游戏，提出至少有一个有效平衡的投票规则，以及一个较弱的信息效率标准；他还通过一个例子，说明了信息化的投票尽管是合理的，但也会导致无效的信息聚集^[17,18]。Laurent Bouton等人采用一个以理论为基础的实验方法，比较赞成性投票与简单多数投票的性能：赞成性投票能够产生接近最好的结果，而简单多数方法却不能^[19]。Michel Truchon等人通过统计方法，对比评估了一些著名的投票聚集规则，发现没有一个投票聚集规则适用于所有情形，要根据具体的情形进行选择合适的投票聚集规则^[20]。

投票选举问题中需要考虑群体共识程度，因此对于群体共识问题的研究必不可少。群体共识主要用来解决群体意见的一致性问题，群体共识水平的高低主要通过一致性水平来测度。 国内外学者通过构建群体共识模型，模拟群体共识的过程。带有偏好的共识问题：Yuan Jiang等人构建了两个不同的关于直觉乘法偏好关系的共识模型，实现检验、达成并改善群体共识水平的目的^[21]。Yucheng Dong等人基于前景理论且考虑决策者的心理行为，针对带多样化偏好代表性结构的共识达成问题，提出了一个新的解决框架^[22]。此外， Feng Zhang等人采用共识GDM模型处理异构信息，与传统的群体决策模型相比， 该模型处理不同类型的信息更有效^[23]。满足个体一致性的共识问题：群体决策过程中，同时考虑个体一致性与群体共识，有利于获得一个有意义并且可信的结果。对此，Zhibin Wu不仅提出了一个决策支持模型；还提出了能够处理HFLPR个体理性和群体理性问题的共识达成过程^[24]。考虑非精确性意见的共识问题：Chao Fu等人针对专家评估意见的非精确性，提出了基于区间型偏好的群体共识模型^[25]。动态共识问题：而对于动态群体决策环境中，针对大群体紧急决策的紧迫性和低共识水平性，Xuan-hua Xu等人提出了基于退出授权机制的动态共识方法，该方法有助于获得同时满足一致性标准和共识标准的解决方案^[26]。另外，Qingxing Dong等人基于马尔可夫链方法，提出了对等动态自适应共识达成模型^[27]。

投票的最终结果就是希望选出大家都满意的候选者。在投票过程中，投票原理或者投票集结方法的选择，目的都是为了获得令大多数人都满意的结果。从这个意义上讲，投票问题是一种群体共识问题。

针对带有偏好排序的投票问题，Cook及Kress推广了Borda的投票模型。他们采用数据包络分析方法，计算候选人不同重要性位置的权重，然后通过加权集结获取每个候选人的得分，从而对多个候选人进行最终的排序。该模型的特点是：（1）位置的权重是DEA投票模型的优化解，因而是客观的；（2）位置的重要性差异通过线性约束确定，因而更接近于现实情境；（3）候选人的最终得分是最优权重的线性加权；（4）Cook及Kress还通过改进DEA投票模型，不仅实现了位置差异性的最大化，而且克服了DEA投票模型中位置权重随候选人变化的缺陷。

在某些带有集权式的民主投票决策中，往往会出现左右投票结果的独裁者或者集权者 (后文称之为协调人) 。他们一方面试图通过自己的影响力 (包括政治手段、宣传手段、经济手段等) 影响投票结果；另一方面又试图尊重投票人的权益，从而体现投票的公平性。若协调人的意愿与投票结果存在尽可能的一致性，是一个较好的投票结局：协调者与投票人实现投票共识。

针对上述问题，本文拟构建带有协调者意见的群体共识投票优化模型，模型假设如下：

(1) 协调者对候选人有一个期望投票得分，协调者试图通过其意见影响候选者的投票结果；

(2) 候选人的投票得分是其各个位置的得票加权值；

(3) 候选人的位置权重是客观的，位置的权重是群体共识投票优化模型的最优解。

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