一类广义Sylvester矩阵方程的混合条件数分析-毕业论文网

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目录

1.引言 5

2.准备知识 7

2.1基本定义 7

2.2引理 10

3.主要结果 11

4.数值例子 16

5.总结 18

参考文献 19

致谢 21

一类广义Sylvester矩阵方程的混合条件数分析

林坤德

，China

Abstract：In this paper, we mainly study the mixed condition number analysis of a class of generalized Sylvester matrix equations. Firstly, we give the background of a class of generalized Sylvester matrix equations. Then we give the definitions and related properties of the mixed condition number. Secondly, we give the main results of this paper; i.e., the analysis of mixed condition numbers for a class of generalized Sylvester matrix equations. Finally, we give small numerical examples to prove our theoretical results.

Key words：generalized Sylvester matrix equations; Condition number analysis; Kronecker Product

1.引言

在许多领域的问题中都有涉及到广义Sylvester 矩阵方程，比如矩形域上的椭圆边值问题在离散后会出现一个Sylvester矩阵方程; 在研究常微分方程定性理论以及数值求解的隐式Ｒunge － Kwutta方法与块方法时，也经常会遇到广义Sylvester 矩阵方程的求解问题; Sylvester矩阵方程也出现在线性统计领域中; 在控制理论及应用中也涉及到此类方程的求解，包括在极点配置、观测器以及构造Sylvester函数中。另外，在图像恢复、模型降阶以及信号处理等领域中也会涉及到广义Sylvester矩阵方程。

广义Sylvester方程在控制理论和系统理论中有着重要的应用。考虑下面的一般动力学线性模型

（1）

其中以及分别表示状态向量和输入向量; 以及是系统系数矩阵。动态线性系统（1）包含如下线性系统

（2）

和如下二阶线性系统

（3）

以及高阶动力学线性系统

（4）

线性系统（2）捕捉了许多物理系统在实际中的动态行为，如参考文献[1-3]。二阶线性系统（3）在振动和结构分析，机器人控制和航天器控制中有广泛的应用，如文献[4,6]。线性系统（1）的极点配置和观测器设计问题也被广泛关注，如参考文献[5,6]。

本文考虑一类广义Sylvester方程：

（5）

这里且为已知矩阵，同时是待确定矩阵，并且本文假设矩阵是可逆阵（表示单位矩阵）。显然，广义Sylvester方程（5）是有着重要应用的，如在有结构的极点配置的控制问题中有广泛应用。

条件数分析对于问题本身的稳定性有着主要衡量作用。关于混合型条件数，国内外已有很多研究成果。比如，在文献[2]中Yiqin Lin和Yimin Wei提出了一般形式的Sylvester矩阵方程的混合型条件数；这两位前辈也在文献[7]中对非对称Riccati方程的混合型条件数进行了研究，Landong Liu在文献[8]中也进行过类似的研究。Weiguo Wang和Nan Hao则在文献[9]中对双曲QR分解的混合型条件数进行了研究。关于线性最小二乘问题的混合型条件数，也由Baboulin M和Dongana J在文献[6]中给出。

2.准备知识

在本文中，我们用表示具有行列的实数矩阵集合，用表示具有行列的复数矩阵集合，用表示阶单位矩阵；用表示位于矩阵的第行第列的元素。

首先我们给出一些基本定义，如下：

2.1基本定义

定义2.1.1 广义Sylvester方程

广义Sylvester方程定义如下：

这里且为已知矩阵，同时是待确定矩阵。在控制系统的很多问题中，广义Sylvester方程都与其有密切相关性，比如代数离散Ricatti方程的求解，可以通过计算矩阵束的特征子空间求得，而广义Sylvester方程的解能够构成上述的特征子空间。此外，在广义系统的模型降阶中也需要求解广义Sylvester方程。