一类四维分数阶金融系统的动力学特性、混沌控制与同步

论文总字数：13598字

目 录

1引言 1

2分数阶形式的金融系统 3

2.1金融系统分数阶形式的介绍 3

2.2金融系统的动力学分析 4

2.3数值模拟 5

3混沌分数阶金融系统的线性反馈控制器的设计 10

3.1系统的线性反馈控制的描述 10

3.2系统的线性反馈控制的数值模拟 11

4分数阶形式的金融系统的同步设计 14

5结论 17

参考文献 18

致谢 21

一类四维分数阶金融系统的动力学特性、混沌控制与同步

张汇钰

，China

Abstract：This paper focuses on the dynamics analysis, chaos control and synchronization of a new type of 4-dimensional chaotic financial system. Because many economic variables have the memory nature and fractional calculus provides a good research tool for this purpose, the fractional form of this financial system is introduced. Firstly, we study the dynamic characteristics of the fractional order financial system, including the equilibrium point, stability and chaotic attractor of the system, we use the Adams-Bashforth-Mouiton algorithm to simulate the phase diagram of the chaos and stability of the fractional order financial system. Furthermore, in order to control the chaotic behavior of the system, a simple, intuitive and low cost linear feedback control based on linear state-feedback control theory is designed. Numerical simulation results show that the controlled fractional-order financial system converges to the equilibrium points. Finally, we study the synchronous control of this system and give the relevant control conditions.

Key words：Fractional-order financial system; dynamics; chaos; linear feedback control; synchronization.

1引言

金融经济分析领域受到了许多学者的广泛关注。特别地，金融系统中的混沌行为可以有效地解释金融市场和经济学中的随机波动。基于Hopf分岔在混沌金融系统建模中应用的重要理论和实际研究结果已在[1-3]中给出。非线性动力学和混沌在经济学和金融学中的应用已被当代学者在[4-6]中研究。文献[7]中的三维混沌经济模型由四个区块组成,分别是：劳动力，股票，货币和生产力。这个混沌金融系统被表示为：

（1.1）

其中。参数分别代表存储量、投资成本和商品需求的弹性,且是常数。。 。商品市场中的供需矛盾和通货膨胀率同时影响着。文献[8]已经研究了金融系统（1.1）的相关动力学特性，并且其分数阶形式已在[9]中给出。受到文献[10]中想法的启发，为了实现在更高维数上的混沌行为，我们在（1.1）中添加了一个新的状态变量，它表示平均利率。系统（1.1）被优化为一个新的四维的混沌系统：

（1.2）

其中参数是一个常数。然而，从经济学角度出发，文献[11]中提到，利率在投资过程中起着重要甚至决定性的作用。为使投资需求的变化率与利率成反比且要保持的非线性的特性，将（1.2）中第二个方程中的替换为。的存在可以更好地解释为什么现实生活中，我们可以看到很多国家的银行会将利率控制在一个很小的正值，因而改进后的系统（1.2）更加符合真实情况。改进后的系统：

（1.3）

分数阶微积分是从传统的整数阶到非整数阶积分和微分的推广[12]，上个世纪以来，由于分数阶微积分在许多领域的广泛应用而发展迅猛。像Sabatier在文献[13]中提到，其在经济学、社会学、生物学、物理学和工程等多个领域中，对于许多问题进行建模是很方便实现的。特别是具有记忆或长距离依赖性的自然现象，可以有效地被分数阶系统表现出来[14-15]。然而，分数阶系统常常表现为混沌状态。混沌还有另一个有趣的现象，它表现为特殊非线性动力系统对初始条件的敏感性。因此，由于系统的内在动力，行为系统从长期来看是不可预测的，这种不可预测性与受外界因素影响的线性模型不同。许多科研人员已经论证了在很多领域，分数阶形式为许多现象提供了更真实可靠的模拟[16]。例如，CONT[17]研究了与金融建模相关变量的长期依赖性及其分数阶模型的应用。由[18]提出的分数阶混沌动力系统是一个利用混沌和分数阶微积分来有效地模拟那些具有长期不可预测性和长记忆依赖性等非理想效应的现实经济动力系统。本文将系统（1.3）推广到其分数阶形式，从而研究其混沌行为等非线性动力学特性。

最近，分数阶模型的混沌性行为的控制与同步研究已经获得了很多学者的关注[19-20]。关于金融系统的许多统计、实证和理论的研究表明，金融系统常常表现出复杂的特性。因此金融系统的或时间序列预测表现出大量的不确定性，这阻碍了最优和有效的金融决策的制定。在金融系统中，为了提高其经济表现，时常需要对系统进行动力学分析，以便及时调整政策。为了提高经济收益，混沌现象应该被抑制从而减少其不良的影响，许多控制方法被设计和实践[21-24]。最新的关于分数阶金融系统的控制与同步方法，包括同步控制[25]，自适应滑动模态控制[26]和滑模控制[27]。这些控制方法对系统的参数不确定性具有很强的鲁棒性，也被称为抖振效应，这需要快速切换来自控制器的信号，尤其是从实际实现的角度来看会减少很多不利影响。然而控制和同步的实现非常复杂，成为现在研究中的难点。为了控制分数阶金融系统的混沌行为，有效的控制方法应该继续被深入研究。

本文对经典的金融系统（1.3）做出了改进和优化，为研究系统变量的记忆性，根据Caputo微分的定义，我们将系统推广到其分数阶形式。文中分析了分数阶金融系统的动力学特性，如平衡点、稳定性，混沌吸引子，并给出了混沌存在的必要条件。基于改进的ABM算法进行了数值模拟，我们验证了必要条件。随后，线性反馈控制器将混沌的金融系统稳定到了平衡点处，并且本文对三个平衡点分别进行了数值模拟。最后，为实现系统的同步控制，文中给出了控制系数的相关约束条件。

2分数阶形式的金融系统

2.1金融系统分数阶形式的介绍

Caputo微积分在描述金融和物理的分数阶意义时受到研究人员的青睐，因为其初值有直接的物理或金融意义。而且，它易于建立分数阶的传递函数。Caputo分数微分公式通常不需要带入初始条件就可以从分数阶常微分方程导出分数阶传递函数模型。经济学变量具有记忆性，如汇率、利率，股票价格等。而整数阶微分没有良好的记忆性，因此具有局限性，不能准确地描述对历史有依赖性的系统。相比整数阶，分数阶的最大优点就是具有记忆性，因此更加适合应用于经济学和金融学模型中。基于经济学指标的平均值和临界值的一般形式，非线性Caputo微分有经济学上的解释。其被解释为经济指标临界值和平均值的中值。更多分数阶微积分的记忆性在经济过程中的应用与解释的细节可参考文献 [28-33]。

定义2.1 ([34])由Caputo微分的定理，函数f（t）在时间t上的q阶导数定义如下：

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