蛇板模型的动力学建模及运动规划

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目 录

一、 绪论 4

1.1 蛇板模型的发展概述 4

1.2 蛇板模型的国内外研究现状 5

1.3 力学系统的理论以及发展现状 5

1.4 运动学系统的理论以及发展现状 6

二、 预备知识 6

2.1 微分流形的定义 6

2.2 切丛与向量场 7

2.3 李括号积 7

2.4 联络 7

2.4.1 向量丛上的联络 8

2.5 李群与李代数 8

2.6 切空间 9

2.6.1 代数预备知识 10

2.6.2 切空间 10

三、拉格朗日力学控制系统 11

3.1 拉格朗日力学 11

3.1.1 拉格朗日经典关系式 11

3.2 拉格朗日力学控制系统 12

3.2.1 控制仿射系统 12

3.2.2 线性控制系统 12

3.2.3 受控的拉格朗日函数 13

四、蛇板模型的动力学建模与运动可控性 13

4.1 前言 13

4.2 蛇板模型的数据 13

4.3 蛇板的运动方程 16

4.4 蛇板运动的可控性 17

五、 蛇板模型的运动规划 19

5.1 前言 19

5.2 运动基元 20

5.3 蛇形艇运动规划的非线性反演问题及显示解 21

5.4 蛇板的运动规划问题 21

参考文献 25

致 谢 26

一、 绪论

1.1 蛇板模型的发展概述

蛇板是一类特殊的滑板。在1989由和创造的。蛇板首先是在中被分析为一个简单的非完整力学系统。从那时起，蛇板就被作为一种非常好的平台来展示从欠驱动系统的运动规划到非完整系统的可转换性等范围重要的结果。事实上，蛇板是一个简单而非平凡的系统，可以在不受复杂表达式影响的情况下进行运动规划和可控性实验。然而，迄今为止，它的非平凡的动态到目前为止还没有提供一个有效的封闭式的解析步态生成技术它的运动规划问题的方法。蛇板属于机械系统的家族，通常被称为“混合非完整系统”。混合项指的是控制系统运动的动力学由非完整约束的存在以及瞬时动量守恒定律决定的。换句话说，混合系统具有非完整约束，影响系统的动力学，但没有足够的约束来完全指定动态。后一种情况发生在运动学无漂移系统中，蛇板只有两个非完整约束，它们与脚垫有关，此外，它的角动量在轮轴的交点上是瞬时保守的。等人早期在蛇板的运动规划中使用的是在和中首次研究出的正弦转向技术。这些技术确定了正弦输入的频率，使蛇板沿着三种基本方向移动：向前移动，平行停车和旋转。在此方法中，对输入正弦信号的振幅进行了检验。

1.2 蛇板模型的国内外研究现状

蛇板是一类典型的带有非完整约束的多体系统，其动力学与控制的问题引起了国内外学者的广泛研究。等利用的方法建立了蛇板系统的动力学模型，并将蛇板系统的运动规划问题描述为无漂移非完整系统的最优控制问题。基于微分几何理论推导了非完整系统在流型上的的方程形式等。等将这种方法运用于蛇板系统的动力学建模，并对蛇板系统的可控性与运动规划问题进行了研究，主要集中在两个方面，一是对乘子采取不同的约化处理方法，二是对运动规划问题采取不同的步态规划技术。

   国内方面，刘延柱等介绍了蛇板的前进机理，丁洁玉等 采用连续 方法求解蛇板系统简化模型微分代数方程组，该变分积分法在每个离散的时间间隔上都能保持能量不变。最近，中科院沈阳自动化研究所郭宪等建立了蛇形机器人系统动力学与控制统一模型并进行了实体验证，取得了不错的效果。

1.3 力学系统的理论以及发展现状

由于高科技发展的需要,现 今力学系统的正常运转几乎离不开控制, 力学理论发展的成熟又给控制带来了新的思维与方法。 这反映在由力学家建立起来的运动稳定性理论在控制系统中的大发展。 进一步，成功地将分析动力学中的变分原理应用于具控制的系统所产生的最优控制的进展也深刻地说明这一点。力学系统的控制不同于一般过程控制,常常是反应速度快而又动作要求高。 就力学系统而言，飞机驾驶仪的设计 总是建立在飞机一个标准飞行状态基础之上，而要求该驾驶仪在别的飞行状态也合适，此时就要求考虑对一个具大摄动的力学控制对象如何进行有效控制的问题。 拉格朗日力学是分析力学的一种，于1788年由约瑟夫-拉格朗日所创立。拉格朗日力学是对经典力学的一种新的理论表述，着重于数学解析的方法，是分析力学的重要组成部分。拉格朗日也是分析力学的创立者，在其名著《分析力学》中，在总结历史上各种力学原理的基础上，发展欧拉等人的研究成果，引入了势和等势面的概念，进一步把数学分析应用于质点和刚体力学中，提出了运用于静力学和动力学的普遍方程，引入广义坐标的概念，建立了拉格朗日方程，奠定了分析力学的基础，把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路。哈密顿力学是由哈密顿于1833年建立的经典力学的重新表述，它由拉格朗日力学演变而来，是金典力学的另一种表述。适用于哈密顿力学表述的系统成为哈密顿系统，哈密顿力学是标准的伽利略加速点运动几何学的一种力学。

1.4 运动学系统的理论以及发展现状

在很多领域，运动学和运动规划一直占有举足轻重的地位。无论是应用于工业生产的工业机器人，还是应用于空间探测的空间机器人，以及越来越受到研究者们重视的智能机器人，运动学和运动规划都是必不可少的组成部分 。运动规划是在给定的路径端点之间插入用于控制的中间点序列从而实现沿给定的平稳运动。运动控制则是主要解决如何控制目标系统准确跟踪指令轨迹的问题。从控制的角度来说，由于移动机器人受不可控约束，不可将其转化为等式约束而成为非完整控制系统，其局部不可控，但全局可控。由于控制的特殊性，作为非完整移动机器人控制任务之一的运动规划，特别存在障碍约束的运动规划越来越引起众多的控制者的兴趣爱好。非完整系统运动规划的一般方法有三种：最优控制，分段定常输入和标准路径。和提出了使用分段定常输入一种很好的通用运动规划方法，他们考虑的是幂零系统情况。在Lafferriere 和Sussmann[1993,1991]中使用的一种方法是幂零逼近。当足够大的输入向量场的李括号是相同的零时，无漂移系统是幂零的。对于具有此属性的系统，提出可能性算法。提供了一种能够确定控制向量场的流形，准确地解决了运动规划问题。对于不是幂零的系统。然后可以利用幂零近似来近似求解运动规划问题。如果仅考虑有限集合控制的方法在 Bicchi,Marigo,和Pccoli[2002]中有提到的，在这要注意是由一组有限的控件组成的。我们的意思是，不仅控制在有限子集中取值，而且我们允许这些控制仅在有限的时间间隔集合中定义：在这种情况下。人们无法得到运动规划问题的精确解。由于可达点集将是密集的。然而，在可达集稠密的情况下，可以设计相当简单的算法来近似地解决这个问题。

二、 预备知识

2.1 微分流形的定义

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